Una cuestión de suerte

1- Fórmula de Los Trapecios

Se conocen los n+1 valores x0; x1; ...; xn, que cumplen con la condición xk – xk–1 = h para k=1; 2; ...;n. Una primera aproximación al valor del área que se debe calcular, limitada por los puntos x0; A0; A1; ...; An; xn, se obtiene sumando las áreas de los trapecios inscriptos en cada una de las superficies parciales limitadas por los conjuntos de puntos:

la que se conoce como FÓRMULA DE LOS TRAPECIOS; en la cual, se denomina E a la suma de las ordenadas extremas; P e I a las sumas de las ordenadas de subíndices pares e impares, respectivamente. Puede considerarse como una discretización, ya que se reemplaza la curva, dada por una función continua, por la poligonal descripta por los puntos dados. Por tal motivo, su precisión no es muy elevada.

2- Fórmula de Simpson

El cálculo del área es mas preciso, si se utilizan segmentos de parábola para aproximar los arcos de curva, en lugar de emplear segmentos de recta. Considerando el caso de la parábola de segundo grado, se debe determinar el área comprendida entre el eje de las x, la para
bola de eje vertical que pasa por tres puntos dados y sus ordenadas extremas. Llamando A0; A1; A2 a los puntos de abscisas equidistantes (x1–x0 = x2–x1 = h), se hace pasar el eje y por el punto intermedio A1, con lo cual no se pierde generalidad (x0=–h; x1=0; x2=h). En general, la parábola de segundo grado es y=ax²+bx+c , la que, al pasar por los puntos dados resulta:

En caso de haber subdividido el intervalo de integración en un numero par de franjas, tal que la cantidad de puntos que describen la curva sea impar, se puede aplicar la metodología tomando de a tres puntos; de esta manera, se obtiene la FoRMULA DE SIMPSON:

3- Regla de los Tres Octavos de Simpson

Se utiliza cuando se tiene una cantidad n impar de franjas, es decir, un numero par de puntos. Para la determinación de las áreas parciales, es necesario utilizar parábolas de tercer grado que conecten cuatro puntos consecutivos de la curva en cuestión. Su expresión general es: y=ax³+bx²+cx+d . Para determinar los valores de los parámetros a; b; c; d, se impone a la parábola la condición que pase por los cuatro puntos A0; A1; A2; A3. Se ubica el eje de las y en el medio del intervalo de integración, con lo cual resulta -3h/2 ≤x≤3h/2 , siendo 3h la amplitud total del mismo. El área buscada resulta:

que es la denominada REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON. Cuando se tiene una cantidad impar de franjas, puede aplicarse este método a las tres primeras, luego se aplica la fórmula de Simpson anterior al resto de las franjas y, por ultimo, se suman ambos resultados.