Corrección de Preguntas de Probabilidad y Estadística: Covarianza, Teorema de Fisher, Contraste de Hipótesis e Intervalos de Confianza
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Preguntas de Probabilidad y Estadística
1. Covarianza y cambios de origen
¿Cómo afecta la covarianza a un cambio de origen en 1 o en ambas variables?, ¿y en las dos?
No le afecta. La covarianza al igual que la varianza no varía antes cambios de origen en una o ambas variables.
2. Valor más probable de la distribución exponencial
¿Cuál es el valor más probable de la distribución exponencial? ¿Por qué?, ¿existe siempre la mediana en dicho modelo? ¿Por qué?
No existe, ya que el modelo exponencial es continuo y la probabilidad de cualquier valor es 0.
Sí, al tratarse de un modelo continuo debe haber un valor que divida la superficie o probabilidad en 2 partes con igual área, y ese valor es la mediana por definición.
3. Teorema de Fisher
Enuncie el Teorema de Fisher.
Si la población es normal y la muestra aleatoria simple, los estadísticos media y varianza muestrales son independientes.
4. Contraste de hipótesis: H0: μ = 5 frente a μ = 3
Para contrastar la H0: μ = 5 frente a μ = 3, considerando como RC x < k, establezca k, las probabilidades de cometer el error I y el error II, así como la potencia.
5. Sucesos complementarios
Si se tiene ya el mismo espacio probabilístico que P(A/B) = 0.25 y P(Ā/B) = 0.45, ¿qué se puede concluir? ¿Por qué?
Eso es imposible. Esos sucesos son complementarios, por lo que las probabilidades necesariamente han de sumar 1.
6. Unidades de covarianza y coeficiente de correlación
Si la variable X está expresada en € y la variable Y en km, ¿cuáles serán las unidades de la covarianza y del coeficiente de correlación?
Las de la covarianza serían €·km y el coeficiente de correlación carece de unidades.
7. Estimador eficiente
Si un estimador es eficiente, ¿qué se puede afirmar acerca de su varianza? ¿Será asintóticamente eficiente? ¿Por qué?
Es la menor varianza de todos los estimadores insesgados, y esa varianza coincide con la cota de Cramér-Rao.
Sí, pues la definición de eficiencia no hace referencia al tamaño muestral y, por tanto, también se cumple para muestras de gran tamaño.
8. Intervalos de confianza con distribución de Poisson
Si para la media desconocida de una población que sigue un modelo de Poisson se han obtenido, a partir de la misma muestra y con la misma cantidad pivotal, los intervalos (0.5, 5.5) y (2, 4), ¿qué se puede afirmar acerca del nivel de confianza de los mismos? ¿Cuál sería el valor de la media muestral? ¿Por qué?
El nivel de confianza del segundo es menor, al ser menos amplio (más preciso), ya que la relación entre amplitud y nivel de confianza es directa.
Sería 3, el punto central de ambos intervalos.
9. Contraste con hipótesis alternativa compuesta
Si en un contraste de hipótesis la alternativa es compuesta, ¿qué se puede afirmar acerca de las probabilidades de cometer error I y error II?
De la primera no se puede afirmar nada, pues no depende de la hipótesis alternativa (probabilidad de rechazar H0 siendo cierta).
La segunda no se podría obtener, pues al ser la alternativa compuesta no se especifica el valor del parámetro (probabilidad de aceptar H0 siendo falsa).