Control de Sistemas: Respuesta Transitoria, Transformada de Laplace y Compensación con MATLAB

Funciones de transferencia y operaciones en MATLAB

Sea el sistema con las siguientes ecuaciones: q_e(t) - q_s(t) = A·dh/dt, q_s(t) = k·raíz(h(t)).

Funciones de transferencia de ejemplo:

G₁(s) = s/(s³+7s²+2)
G₂(s) = 10(s+1)/(8s+10)·... (s(s+2)(s+7))
G₃(s) = e^-0.5s/(s+1)

Código MATLAB

G1 = tf([1 0],[1 7 0 2]);
G2 = zpk([-1 -10],[0 -2 -7],10);
G3 = tf(1,[1 1],'inputdelay',0.5);

Conexiones de bloques

• Serie: M = series(G1,G2);
• Paralelo: M = parallel(G1,G2);
• Realimentación negativa unitaria: M = feedback(G,1);
• Realimentación positiva unitaria: M = feedback(G,1,1);
• Realimentación convencional: M = feedback(G,H);

Simulación

t = 0:0.01:100;
y = [zeros(1,20) 10];
step(G,2*G)
bode(G)
T = 2*pi/100;
[u,t] = 3*gensig('sin',T);
lsim(G,u,t)

Transformada de Laplace

syms ts;
y6 = ts;
Y6 = laplace(y6)

syms s a;
Y7 = 1/(s+a)^3;
y7 = ilaplace(Y7)

Sistema de segundo orden

G(s) = K_e·w_n² / (s²+2ζw_ns+w_n²) = K_e·w_n² / ((s+σ)²+w_d²)

Polos: s = -ζw_n ± j·w_n·raíz(1-ζ²) = -σ ± j·w_d

Relaciones:

• σ = ζw_n
• w_d = w_n·raíz(1-ζ²)
• ζ = σ/w_n = cos θ
• w_n = raíz(σ²+w_d²)

Donde: K_e: ganancia estática; ζ: coeficiente de amortiguamiento (adimensional); w_n: frecuencia natural no amortiguada (rad/s); σ: constante de amortiguamiento (rad/s); w_d: frecuencia amortiguada (rad/s).

Respuesta impulsional

• ζ = 0: g(t) = K_e·w_n·sen(w_nt)·u₀(t)
• 0 < ζ < 1: g(t) = (K_e·w_n/raíz(1-ζ²))·sen(w_dt)·e^-σt·u₀(t)
• ζ = 1: g(t) = K_e·w_n²·t·e^-w_nt·u₀(t)
• ζ > 1: g(t) = (K_e/(T₁-T₂))·[e^-t/T₁ - e^-t/T₂]·u₀(t)

Respuesta al escalón unitario

• 0 < ζ < 1: Ay₀(t) = K_e[1 - (sen(w_dt+θ)/sen θ)·e^-σt]·u₀(t)
• ζ = 0: Ay₀(t) = K_e[1 - cos(w_nt)]·u₀(t)
• ζ = 1: Ay₀(t) = K_e[1 - (1+w_nt)·e^-w_nt]·u₀(t)
• ζ > 1: Ay₀(t) = K_e[1 - (T₁/(T₁-T₂))·e^-t/T₁ + (T₂/(T₁-T₂))·e^-t/T₂]·u₀(t)

Especificaciones temporales

• Tiempo de subida: t_r = (π - θ)/w_d
• Sobreoscilación: M_p = e^-σπ/w_d · 100 %
• Tiempo de establecimiento: t_s = π/σ
• Tiempo de pico: t_p = π/w_d
• Número de oscilaciones: N >= tg θ

Compensación y reducción de sistemas en MATLAB

G1 = tf(1,[1 1]); G2 = tf(1,[1 2]); G3 = tf(2,[1 0]); G4 = G2;
G12 = G1*G2;
G4f = feedback(G4,1);
G34f = G3*G4f;
G5 = zpk([],[-1-i -1+i],-10);
Gd = G12 - 1 - G34f;
Gd = minreal(Gd);
M1 = feedback(Gd*G5,(0.1+0.5)); % Y/X
M2 = feedback(1,Gd*G5*(0.1+0.5)); % E/X
t = 0:0.01:100;
SP11 = [zeros(1,1000) 1.5*ones(1,2000) 3*ones(1,2000) 1.5*ones(1,2000) 1.5-0.15*t(1:1000) zeros(1,2001)];
lsim(M1,SP11,t)

Análisis de cancelación polo-cero

G₁ = (s+10)/(s²+2s+10); G_1r = 10/(s²+2s+10); polo dominante p_d = -1 ± 3j; cero z₁ = -10. El cero es eliminable ya que |z₁| = 10 > 6σ_d = 6. Solo se modifica la ganancia del factor. El sistema original arranca con pendiente no nula mientras que la reducida es nula; al tener el sistema original un cero adicional, será algo más rápido y oscilatorio que la reducida.

G₂ = (s+4.1)/((s+4)(s²+2s+10)); G_2r = 4.1/(4(s²+2s+10)); p_d = -1 ± 3j; p₃ = -4; z₁ = -4.1. El par polo-cero es eliminable porque 6|p₁-z₁| = 0.6 < |p₁| = 4 y 6|p₁-z₁| = 0.6 < |p₁-p_d| = 4.24. Solo se corrige el factor de ganancia. Al tener el sistema original un par polo-cero, el polo dominante será más lento y menos oscilatorio que en la reducida.

G₃ = (s-4.1)/((s-4)(s²+2s+10)); p_1,2 = -1 ± 3j; p_d = 4; z₁ = 4.1. El sistema es inestable, por lo que no puede reducirse.

G₄ = 0.2/((s+0.1)(s²+2s+10)); G_4r = 0.2/(10(s+0.1)); p_1,2 = -1 ± 3j; p_d = 0.1. Los polos complejos son eliminables porque |σ₁| = 1 > 6σ_d = 0.6. Solo se modifica el factor de ganancia. El sistema original arranca con pendiente nula mientras que la reducida no; el original tiene dos polos complejos conjugados adicionales, lo que hará la respuesta más lenta y con pequeñas características oscilatorias que la reducida no tiene.

G₅ = (s+3)(s²+4s+5)/((s+10)(s²+2s+10)); p_d = -1 ± 3j; p₃ = -10; z₁ = -3; z_2,3 = -2 ± j. Los ceros están cerca de los polos dominantes, no son eliminables. El polo p₃ cumple la condición de distancia pero, como n = m, no es eliminable ya que se perdería la condición de causalidad.