Contraste de Hipótesis: Errores Tipo I y II, Potencia y Teorema de Neyman-Pearson

Contraste de hipótesis

En un contraste de hipótesis se enfrentan dos hipótesis:

Hipótesis nula H₀: es la hipótesis (simple o compuesta) que se pretende contrastar. Luego será la que se rechaza o acepta como conclusión del test. Nunca se considera probada, pero puede ser rechazada por los datos.
Hipótesis alternativa H₁ (o H_a): es la hipótesis (simple o compuesta) que se contrapone a la hipótesis nula y frente a la que se compara para aceptarla o no.

Espacio muestral y regiones

El espacio muestral (conjunto de todas las muestras posibles) queda dividido en dos partes complementarias:

• Región crítica o de rechazo R: es la región del espacio muestral donde se rechaza la hipótesis nula H₀.
• Región de aceptación R*: es la región del espacio muestral donde no se rechaza (se acepta) H₀.

Nivel de significación

El nivel de significación de un contraste es la probabilidad de cometer un error tipo I, se denota por α y normalmente se toma α = 0,05, 0,01 o 0,001. Conduce a dividir en dos regiones los posibles valores del estadístico de contraste: la región de rechazo, con probabilidad α bajo H₀, y la región de aceptación, con probabilidad 1 − α bajo H₀.

La probabilidad de cometer error de tipo I se denomina nivel de significación, y la probabilidad de cometer el error de tipo II se denota por β.

El error de tipo I tiene mayor gravedad, porque rechazar una hipótesis cierta reviste más importancia que aceptar una falsa.

Potencia del contraste

El contraste de hipótesis que se elige es el que presenta un nivel de significación α aceptable y que sea obtenido minimizando β o, lo que es equivalente, maximizando 1 − β. Esta cantidad se denomina potencia del contraste: es el poder que tiene el contraste para reconocer que H₀ es falsa y se tiene que rechazar.

La potencia (1 − β) depende de varios factores:

• Nivel de significación α: al aumentar α, disminuye β, por lo que aumenta la potencia 1 − β, siempre que no se alteren los demás factores. Inversamente, si α disminuye, β aumenta.
• Tamaño muestral n: si aumenta n, β tiende a disminuir, porque se reduce el error de muestreo, y aumenta la potencia.
• Dispersión poblacional: a menor desviación típica se obtiene un menor valor de β, aumentando la potencia.

Teorema de Neyman-Pearson

Cuando se contrastan dos hipótesis simples, la evaluación de la regla de decisión se efectúa en términos de las probabilidades fijadas para cada tipo de error. Una buena prueba estadística es aquella que tiene muy bajas probabilidades de ambos tipos de error. De dos pruebas con igual α, es mejor la que resulta con menor β.

Sea (X₁, X₂, ..., X_n) una m.a.s. obtenida de una población con función de densidad f(x; θ) y contrastamos las hipótesis simples H₀: θ = θ₀ y H₁: θ = θ₁. Podemos asegurar que R es la región crítica preponderante (para un nivel de significación dado, la de máxima potencia) para el contraste de hipótesis simples planteado.

Para contrastar hipótesis simples, la distribución de la variable queda especificada, pudiéndose obtener la potencia del contraste de manera exacta. Este teorema permite encontrar la región crítica de máxima potencia entre todos los contrastes con un nivel de significación dado.

Neyman-Pearson para hipótesis compuestas

Al contrastar una hipótesis nula simple con una alternativa compuesta, el teorema puede ser aplicado a cada valor del parámetro incluido en H₁, dando la mejor región crítica para cada uno de ellos.

El número de valores que toma θ (en H₁) suele ser infinito, por lo que es necesario encontrar un método que permita determinar si existe una única región crítica para diferentes valores (región crítica uniformemente más potente). Un contraste es uniformemente más potente (UMP) si la región crítica es independiente del valor de θ.

El método de contraste que obtiene la región crítica para el contraste de H₀ frente a H₁, y también para dos hipótesis compuestas, se denomina contraste de razón de verosimilitud. El valor de λ(x) depende de la muestra seleccionada. Si λ(x) ≥ 0, ya que L(x; θ) ≥ 0 al ser producto de funciones de densidad o de probabilidad, que toman siempre valores no negativos.

Pruebas de bondad de ajuste

Las pruebas de bondad de ajuste son contrastes no paramétricos que se usan para comprobar si una distribución de probabilidad se ajusta a un conjunto de datos. Son de dos tipos:

• No especificadas o desconocidas (muestra grande n ≥ 30): prueba chi-cuadrado de Pearson.
• Especificadas o conocidas: (muestra grande n ≥ 30) prueba de Pearson y (muestra pequeña n < 30) prueba K-S (Kolmogórov-Smirnov).

Prueba chi-cuadrado de Pearson

La prueba chi-cuadrado de Pearson de bondad de ajuste decide si una distribución de probabilidad se ajusta a un conjunto de datos, comparando valores de una muestra aleatoria con esperados si la hipótesis nula es correcta (valores esperados), en cada categoría donde se clasifican los individuos. Esta prueba contrasta la hipótesis nula de que un grupo...