Conceptos Fundamentales de Topología y Sucesiones en Rⁿ

Conceptos Básicos de Topología en Rⁿ

Punto interior y entorno

Sea D ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ D. Diremos que a es un punto interior de D, y que D es un entorno de a, si existe un δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ D.

Bola abierta en Rⁿ

Se define la bola abierta en ℝⁿ como: B(a, δ) = { x ∈ ℝⁿ : ||x – a|| < δ }.

Conjuntos abiertos y cerrados

• Conjunto abierto: Diremos que D ⊆ ℝⁿ es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores.
• Conjunto cerrado: Diremos que D ⊆ ℝⁿ es un conjunto cerrado si su complementario (ℝⁿ \ D) es un conjunto abierto.
• Punto de acumulación: Sea D ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ. Diremos que a es un punto de acumulación de D si, para todo δ > 0, en B(a, δ) existen puntos de D diferentes de a.
• Teorema de caracterización de cerrados: Un conjunto D ⊆ ℝⁿ es cerrado si, y sólo si, D contiene a todos sus puntos de acumulación.

Sucesiones en R

Convergencia y Cauchy

• Sucesión convergente: Diremos que {xₙ} es convergente a x ∈ ℝ si ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ : si n ≥ N, entonces |xₙ − x| < ε.
• Sucesión de Cauchy: Diremos que {xₙ} es una sucesión de Cauchy si ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ : si m > n ≥ N, entonces |xₘ − xₙ| < ε.

Propiedades de las sucesiones

• Sucesión monótona creciente: Diremos que una sucesión {xₙ} es monótona creciente si xₙ ≤ xₙ₊₁ para todo n ∈ ℕ.
• Sucesión acotada superiormente: Una sucesión {xₙ} es acotada superiormente si existe una constante M ∈ ℝ tal que xₙ ≤ M ∀ n.
• Teorema de la convergencia monótona: Toda sucesión {xₙ} monótona y acotada es convergente.

Sucesiones divergentes

Diremos que una sucesión {xₙ} es:

• Divergente a +∞: si ∀ M ∈ ℝ, ∃ N ∈ ℕ : si n ≥ N, entonces xₙ > M.
• Divergente a -∞: si ∀ M ∈ ℝ, ∃ N ∈ ℕ : si n ≥ N, entonces xₙ < M.

Límite funcional

Límite funcional por sucesiones

Sea una función f : D ⊆ ℝ → ℝ, y sea a un punto de acumulación de D. Diremos que lim_x→a f(x) = b si:

∀ sucesión {xₙ} → a, con {xₙ} ⊂ D \ {a} =⇒ la sucesión {f(xₙ)} → b.