Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas y Polinomios

Conceptos Básicos de Funciones

• Función: Es una relación de dependencia entre dos variables de modo que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y.
• Imagen: Es el valor que toma la variable y en relación con el que tiene la variable x.
• Antiimagen: Es el valor o valores de la variable x a los que corresponde el tomado por la variable y.
• Dominio (D(f)): Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
• Recorrido (R(f)): Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
• Expresión algebraica: Es la fórmula que indica las operaciones que debemos efectuar con cada valor de la variable x para obtener el valor correspondiente de la variable y.
• Gráfica: Es la representación en un sistema de coordenadas cartesianas de todos los pares de la forma (x, f(x)), siendo x un valor del dominio de la función f.

Polinomios y Ecuaciones

• Polinomio: Se define por el mayor de los grados de sus términos.
• Ecuación de 2º grado: Si una vez efectuadas las operaciones y reducidos sus términos semejantes, el término de mayor grado que contiene es de grado 2.

Tipos de Funciones

• Función constante: Es aquella cuya expresión algebraica es de la forma y = b, siendo b la ordenada en el origen.
• Funciones de primer grado: Son funciones polinómicas de primer grado cuya expresión algebraica es: y = mx + b.
• Función lineal o de proporcionalidad directa: Es aquella cuya expresión algebraica es de la forma: y = mx (m ≠ 0), siendo m la constante de proporcionalidad.
• Función afín: Es aquella cuya expresión algebraica es de la forma: y = mx + b (m ≠ 0), siendo b la ordenada en el origen.
• Funciones de 2º grado: y = ax² + bx + c.
• Función cuadrática: Es aquella cuya expresión algebraica es de la forma: y = ax² + bx + c.
• Función definida a trozos: Aquella cuyo dominio está formado por varios intervalos en los que la expresión algebraica de la función es diferente.
• Parábolas: Curva simétrica respecto de su eje, que es la recta que pasa por su vértice y es paralela al eje OY.
• Función de proporcionalidad inversa: Es una función cuya expresión algebraica es de la forma y = k/x (k ≠ 0), siendo k la constante de proporcionalidad inversa.

Análisis de Funciones

• Tabla de valores y puntos de corte: Eje OX (y = 0): sustituir y despejar.
• Vértice: x = -b / 2a; para la coordenada y: sustituir el valor obtenido.
• Crecimiento:
  • Crecimiento: m > 0 (derecha arriba, izquierda abajo).
  • Decrecimiento: m < 0.
• Propiedades adicionales: TVM (Tasa de Variación Media), máximos y mínimos, continuidad y discontinuidad, curvatura (a > 0 = cóncava; a < 0 = convexa).