Conceptos Fundamentales de Funciones, Estadística y Combinatoria

1. Estudio de las Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En esta relación, x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

• Dominio: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.
• Crecimiento: Una función es creciente cuando en el intervalo (a, b), si a < b, entonces f(a) < f(b).

Simetría de una función

• Simetría respecto al eje Y (Par): Se cumple cuando f(-x) = f(x).
• Simetría respecto al origen (Impar): Se cumple cuando f(-x) = -f(x).

Tipos de Funciones Polinómicas

Una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Funciones de primer grado

Su expresión es f(x) = mx + n. Su gráfica es una recta, donde:

• m: Es la pendiente.
• n: Es la ordenada en el origen.

Funciones de segundo grado

Su expresión es f(x) = ax² + bx + c (con a distinto de 0). Su gráfica es una parábola:

• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (forma de ∪).
• Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo (forma de ∩).

Otras Funciones Elementales

• Función de proporcionalidad inversa: Relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales mediante la fórmula y = k/x (con k distinta de 0). La constante k es la constante de proporcionalidad y su gráfica es una hipérbola.
• Función racional: Se puede expresar de la forma f(x) = p(x) / q(x), donde P y Q son polinomios y x es una variable. El polinomio Q ha de ser distinto del polinomio nulo.
• Función exponencial: Es una función de la forma f(x) = aˣ, donde a es un número real positivo y distinto de 1.
• Función logarítmica: La función logarítmica en base a es la inversa de la exponencial en base a. Se expresa como f(x) = logₐ x, con a > 0 y a distinto de 1.

2. Estadística Descriptiva

Para realizar un estudio estadístico, es necesario definir los siguientes conceptos:

• Población: Conjunto de elementos sobre el que se realiza el estudio.
• Muestra: Parte de la población que estudiamos. Su tamaño es el número de elementos que la forman.
• Individuo: Cada uno de los elementos de la población o la muestra.
• Variable estadística: Cada una de las propiedades que podemos estudiar en una población o muestra.
  • Cualitativas: No numéricas (ej. color de pelo).
  • Cuantitativas: Numéricas, que pueden ser discretas (valores aislados como 1, 2, 4) o continuas (pueden tomar cualquier valor en un intervalo).

Cálculos y Fórmulas Estadísticas

• Frecuencia relativa (hᵢ): hᵢ = fᵢ / N
• Media aritmética (x̄): Σ(fᵢ · xᵢ) / N

Medidas de Dispersión

• Rango: Vₘₐₓ - Vₘᵢₙ
• Varianza (σ²): Σfᵢ · (xᵢ - Media)² / N
• Desviación Típica (σ): √σ²
• Coeficiente de variación (CV): σ / Media

3. Combinatoria y Probabilidad

Dados dos números reales m y n, tales que m es menor o igual que n, se define el número combinatorio n sobre m, y se escribe como:

Propiedades de los Números Combinatorios

• (n/0) = (n/n) = 1
• (n/m) = (n / n-m)
• (n/m) + (n / m+1) = (n+1 / m+1)

Técnicas de Recuento

• Variación (sin repetición): No hay repetición y sí influye el orden. Fórmula: n! / (n-m)!
• Variaciones con repetición: Sí influye el orden y sí se pueden repetir los elementos.
• Permutación: Caso donde m = n. Se calcula como n!
• Combinaciones: No influye el orden y no puede haber repetición. Se define mediante el número combinatorio (n/m).