Conceptos Fundamentales de Energía y Gravitación en Física

(96-E) Comentarios sobre Energía Mecánica y Fuerzas

a) Conservación de la Energía Mecánica

Si sobre un sistema solo actúan fuerzas conservativas, como fuerzas gravitatorias y elásticas, la energía mecánica total del sistema (suma de energía cinética y potencial) permanece constante. Esto se conoce como el Principio de Conservación de la Energía Mecánica.

Aplicando el Teorema del Trabajo y la Energía, el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la disminución de la energía potencial. Para fuerzas conservativas, la variación de la energía cinética es igual al negativo de la variación de la energía potencial: ΔE_c = -ΔE_p.

b) Trabajo de Fuerzas No Conservativas

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas, como la fuerza de rozamiento, es igual a la variación de la energía mecánica del sistema: W_nc = ΔE_m.

(97-E) Velocidad de Escape

a) Definición y Cálculo

La velocidad de escape de un planeta es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo en el momento del lanzamiento desde la superficie de dicho planeta para que escape de forma permanente del campo gravitatorio que crea el propio planeta.

Para calcular su valor, aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica entre la superficie (punto 0) y el infinito (punto f), donde la energía total es cero (E_f = 0):

E₀ = E_f

E_c0 + E_p0 = 0

1/2 m v_escape² + (-G M m / R) = 0

1/2 m v_escape² = G M m / R

v_escape² = 2 G M / R

v_escape = √(2 G M / R)

Donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del planeta y R es su radio.

b) Consecuencia de Alcanzar la Velocidad de Escape

Si un cuerpo alcanza la velocidad de escape, se iría del campo gravitatorio terrestre (o del planeta desde el que fue lanzado).

(97-E) Trabajo y Campo Gravitatorio

a) Cálculo del Trabajo Gravitatorio

En una región, el trabajo realizado por una fuerza constante F a lo largo de un desplazamiento d es W = F d cos θ, donde θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

Para la fuerza gravitatoria cerca de la superficie (F_g = mg), el trabajo al desplazar un cuerpo una distancia d:

• Si el desplazamiento es horizontal (θ = 90º): W = mgd cos 90º = 0.
• Si el desplazamiento es vertical hacia abajo (θ = 0º): W = mgd cos 0º = mgd.

b) Variación del Campo Gravitatorio

Los valores calculados en a) son diferentes porque el campo gravitatorio de la Tierra varía con la distancia. La intensidad del campo gravitatorio (o aceleración de la gravedad) g a una distancia r del centro de la Tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: g = GM/r².

Si tomamos el campo gravitatorio desde un punto cercano a la superficie de la Tierra, podemos tomar como referencia un valor aproximadamente constante g ≈ 9,8 m/s² para cálculos locales.

(97-R) Energía Potencial Gravitatoria (Ep = mgh)

a) Validez de la Expresión Ep = mgh

Sí, la expresión E_p = mgh es válida para calcular la variación de la energía potencial gravitatoria cuando elevamos un cuerpo de masa m desde una altura de referencia (donde h=0) hasta una altura h, siempre y cuando la altura h sea pequeña comparada con el radio de la Tierra (es decir, cerca de la superficie) y podamos considerar la aceleración de la gravedad g como constante.

La variación general de la energía potencial gravitatoria es ΔE_p = -W_g. Cerca de la superficie, si levantamos un cuerpo una altura h, el trabajo realizado por la gravedad es W_g = -mgh (la fuerza va hacia abajo, el desplazamiento hacia arriba). Por tanto, ΔE_p = -(-mgh) = mgh. Si definimos E_p = 0 en h=0, entonces E_p(h) = mgh.

b) Consideraciones sobre la Energía Potencial Gravitatoria

Al trabajar con energía potencial gravitatoria, es importante considerar:

• Nivel de Referencia: La energía potencial es relativa y depende del punto o nivel que se elija como referencia donde E_p = 0.
• Sistema Internacional (SI): Las unidades en el SI son Julios (J).
• Signo: La energía potencial puede ser positiva o negativa, dependiendo del nivel de referencia elegido y de la posición del cuerpo respecto a él.
• Aproximación F_g ≈ constante: La expresión mgh es una aproximación válida solo cuando la fuerza gravitatoria (y por tanto g) puede considerarse constante, lo cual ocurre cerca de la superficie terrestre para pequeñas variaciones de altura.

(97-R) Ley de Gravitación Universal y Dependencia de la Masa

a) Enunciado de la Ley de Gravitación Universal

La Ley de Gravitación Universal, formulada por Newton, establece que dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas (m₁ y m₂) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r) que existe entre sus centros.

La expresión matemática es: F = G (m₁ m₂ / r²), donde G es la constante de gravitación universal.

b) Independencia de la Masa en Ciertos Cálculos de Velocidad

En el cálculo de la velocidad de escape o la velocidad orbital de un cuerpo pequeño (masa m) alrededor de un cuerpo mucho más masivo (masa M), la masa m del cuerpo pequeño se cancela en las ecuaciones derivadas de la conservación de la energía o de la segunda ley de Newton igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta.

Por ejemplo, para la velocidad orbital v, se iguala G M m / r² = m v² / r, de donde se obtiene v = √(G M / r). La masa m del cuerpo en órbita no aparece en la expresión final de la velocidad.

(97-R) Comparación de Energía en Órbita

Sean A y B dos puntos en la órbita de un cuerpo alrededor de un planeta.

a) Comparación de Energías Cinética y Potencial

En ambos puntos A y B, el cuerpo tiene energía cinética (E_c) y energía potencial gravitatoria (E_p). Si solo actúa la fuerza gravitatoria (conservativa), la energía mecánica total (E_m = E_c + E_p) se conserva: E_cA + E_pA = E_cB + E_pB.

La energía potencial gravitatoria es E_p = -G M m / r. Si el radio de la órbita en A es mayor que en B (r_A > r_B), entonces 1/r_A < 1/r_B. Como la energía potencial es negativa, -1/r_A > -1/r_B, lo que implica E_pA > E_pB (E_pA es menos negativa que E_pB).

Dado que E_cA + E_pA = E_cB + E_pB y E_pA > E_pB, para que la suma sea constante, la energía cinética en A debe ser menor que en B: E_cA < E_cB.

En el punto donde la distancia al planeta es máxima (afelio), la energía potencial es máxima (menos negativa) y la energía cinética es mínima. En el punto donde la distancia es mínima (perihelio), la energía potencial es mínima (más negativa) y la energía cinética es máxima.

b) Comparación de Velocidades

En el punto B, la energía cinética (E_cB) es mayor que en A (E_cA). Dado que la energía cinética es E_c = 1/2 m v², y la masa m del cuerpo es constante, una mayor energía cinética implica un mayor módulo de la velocidad.

Por lo tanto, la velocidad en B será mayor que en A (v_B > v_A), lo cual es consistente con B siendo el punto más cercano al planeta (perihelio) si r_B < r_A.

(97-R) Energía Potencial y Trabajo

a) Naturaleza de la Energía Potencial

Sí, la energía potencial es una magnitud escalar característica de las fuerzas conservativas. La disminución de la energía potencial de un sistema es igual al trabajo realizado por las fuerzas conservativas internas del sistema cuando este cambia de configuración.

La relación es W_conservativa = -ΔE_p.

La expresión W = Fd cos θ es la definición general de trabajo, aplicable a cualquier fuerza, pero la relación con la energía potencial solo se cumple para fuerzas conservativas.

(98-E) Referencia y Signo de Energía Potencial y Trabajo

b) Energía Potencial Gravitatoria: Referencia y Signo

La energía potencial gravitatoria se define siempre respecto a un nivel de referencia arbitrario donde se considera que la energía potencial es cero (E_p = 0). Por esta razón, la energía potencial gravitatoria puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo de la posición del cuerpo respecto a dicho nivel de referencia.

Por ejemplo, si el nivel de referencia está por debajo del cuerpo, la energía potencial es positiva (usando mgh). Si el nivel de referencia está por encima, es negativa. En la convención universal (referencia en el infinito), la energía potencial gravitatoria es siempre negativa para cualquier punto a distancia finita del cuerpo atractor.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria puede ser positivo o negativo:

• Es positivo (W_g > 0) si el desplazamiento del cuerpo tiene una componente en la misma dirección que la fuerza gravitatoria (hacia abajo).
• Es negativo (W_g < 0) si el desplazamiento del cuerpo tiene una componente en dirección opuesta a la fuerza gravitatoria (hacia arriba).

(98-E) Energía en Movimiento Armónico Simple

a) Velocidad en un Muelle Vibratorio (MAS)

En un movimiento vibratorio de un muelle (Movimiento Armónico Simple o MAS), la velocidad del cuerpo unido al muelle varía. La velocidad es máxima en el punto de equilibrio (el centro de la oscilación) y se hace cero en los extremos de la oscilación (máxima amplitud).

b) Transformación de Energía en MAS

Durante el Movimiento Armónico Simple, hay una continua transformación entre energía cinética (E_c) y energía potencial elástica (E_p), conservándose la energía mecánica total (si no hay rozamiento):

• Al moverse desde el centro hacia un extremo: La velocidad disminuye (reduciendo la E_c) y la deformación del muelle aumenta (aumentando la E_p).
• Al moverse desde un extremo hacia el centro: La deformación del muelle disminuye (disminuyendo la E_p) y la velocidad aumenta (aumentando la E_c).

(98-R) Velocidad y Energía Cinética de Satélites

a) Dependencia de Velocidad y Energía Cinética con la Masa del Satélite

De la expresión de la velocidad de un satélite en una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M, v = √(G M / r), se puede deducir que la velocidad orbital depende del radio de la órbita y de la masa del planeta central, pero no de la masa del satélite (m).

Por lo tanto, si dos satélites están en la misma órbita (mismo radio r) alrededor del mismo planeta (misma masa M), ambos tendrán la misma velocidad orbital, independientemente de sus masas.

El caso de la energía cinética es diferente. La energía cinética de un satélite es E_c = 1/2 m v². Puesto que la velocidad v es la misma para ambos satélites en la misma órbita, la energía cinética es directamente proporcional a la masa m del satélite.

De este modo, si el satélite B tiene mayor masa que el satélite A, el satélite B tendrá mayor energía cinética que el satélite A, aunque ambos se muevan a la misma velocidad.