Conceptos Fundamentales de Contraste de Hipótesis y Estimadores Estadísticos

Conceptos Básicos del Contraste de Hipótesis

El contraste de hipótesis es un procedimiento estadístico que nos permite tomar decisiones sobre una población a partir de información extraída de una muestra.

H0 y H1: Las Afirmaciones en Conflicto

Todo contraste enfrenta dos afirmaciones mutuamente excluyentes sobre un parámetro de la población:

• H0 (Hipótesis Nula): Es la postura conservadora, el status quo o lo que se supone por defecto a menos que los datos demuestren lo contrario. Siempre lleva el signo de igualdad (mayor o igual que ≥, igual =, o menor o igual que ≤).
• H1 (Hipótesis Alternativa): Es la afirmación del investigador, lo que sospechamos que realmente está pasando y queremos demostrar. Lleva signos de desigualdad (≠, >, <).

Tipos de Errores

Al tomar una decisión basada en una muestra, podemos equivocarnos de dos formas:

• Error Tipo I: Consiste en rechazar H0 cuando, en realidad, era cierta. La probabilidad de cometer este error se denota con α (alfa), también conocido como nivel de significación.
• Error Tipo II: Consiste en aceptar H0 cuando, en realidad, era falsa. Su probabilidad se denota con β (beta).

Estadística de Contraste

Es una variable aleatoria construida a partir de los datos de la muestra, como Z, t-Student o χ² (Z²). Su valor numérico es lo que usamos para decidir si nos alejamos demasiado o no de lo que postula la H0.

Regiones de Decisión y el P-valor

La campana de probabilidad se divide en dos zonas basándose en el estadístico:

1. Región de aceptación.
2. Región de rechazo: Si la estadística cae aquí, se considera un suceso tan raro que rechazamos H0 en favor de H1.

El P-valor es la probabilidad exacta de obtener un resultado tan extremo como el de nuestra muestra, si H0 fuera cierta. La regla de oro es: si el P-valor es menor que α, rechazamos H0.

Teoría de Estimadores

Estimador Centrado o Insesgado

Antes de hablar de mínima varianza, hay que definir lo que es un estimador centrado. Un estimador θ^ es centrado para un parámetro θ si, por término medio, acierta; es decir, si su esperanza matemática coincide con el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar: E(θ^) = θ.

Estimador Centrado de Mínima Varianza

En la práctica, podemos inventar infinitos estimadores que sean centrados, pero nos quedamos con el que tenga menos margen de error. Este debe cumplir dos condiciones:

• Es centrado: E(θ^*) = θ.
• Su varianza es menor o igual que cualquier otra: Var(θ^*) ≤ Var(θ^).

Estimador Eficiente y Cota de Cramer-Rao

Para saber si la varianza de nuestro estimador es realmente la mínima, el Teorema de Cramer-Rao establece un límite inferior absoluto del que ninguna varianza puede bajar (Cota de Cramer-Rao).

Un estimador θ^ se denomina estrictamente eficiente si:

1. Es centrado.
2. Su varianza es igual a 1 / [n · I(θ)].

Todo estimador eficiente es, por obligación, un estimador centrado de mínima varianza, pero no todo estimador con mínima varianza es necesariamente eficiente.