Conceptos Fundamentales de Cálculo Vectorial en Electromagnetismo
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Conceptos Fundamentales de Cálculo Vectorial
1. Gradiente de un campo escalar
Es el vector que representa la magnitud y la dirección de la razón del incremento espacial máximo de un escalar. Su expresión matemática es: ∇φ.
2. Divergencia de un campo vectorial
Definimos la divergencia de un campo vectorial A en un punto como el flujo neto de salida por unidad de volumen, conforme el volumen alrededor del punto tiende a 0. Expresión matemática: ∇ · A.
3. Teorema de la divergencia
La integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial es igual al flujo neto del vector a través de la superficie que rodea ese volumen. Expresión matemática: ∫V (∇ · A) dV = ∮S (A · dS).
4. Rotacional de un campo vectorial
Es un vector cuya magnitud es la circulación neta máxima por unidad de área conforme el área tiende a cero, y cuya dirección es la normal al área cuando esta está orientada de manera que la circulación neta sea máxima. Expresión matemática: ∇ × A.
5. Teorema de Stokes
La integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral de línea cerrada del vector a lo largo del contorno que limita la superficie. Expresión matemática: ∫S (∇ × A) · dS = ∮C (A · dl).
6. Identidades vectoriales en electromagnetismo
- Identidad 1: El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es idénticamente nulo: ∇ × (∇φ) = 0.
- Identidad 2: La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es idénticamente nula: ∇ · (∇ × A) = 0.
7. Clasificación de campos vectoriales
- Campo solenoidal: Significa que su divergencia es cero (∇ · A = 0).
- Campo irrotacional: Significa que su rotacional es cero (∇ × A = 0).
Clasificación según sus características:
- Solenoidal e irrotacional.
- Solenoidal y no irrotacional.
- No solenoidal e irrotacional.
- No solenoidal y no irrotacional.
8. Teorema de Helmholtz
Un campo vectorial queda determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos.