Conceptos Clave de Matemáticas: Operaciones, Fracciones y Álgebra

Operaciones con paréntesis

Primero se realizan las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas.

Cuando se hace el máximo común divisor se hace: el resultado entre el denominador por el numerador.

Siempre se debe simplificar.

Expresión en forma de fracción

Decimal Periódico Puro

Ejemplo: N = 235,2 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos la parte entera (la que no es decimal).
• Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo.

Decimal Periódico Mixto

Ejemplo: 1,372 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos todas las cifras que no sean periódicas.
• Denominador: Tantos nueves como cifras periódicas tengamos y tantos ceros como cifras no periódicas tengamos detrás de la coma.

Potencias y raíces

Propiedades de las potencias

1. a elevado a cero es igual a 1 ($a^0 = 1$).
2. $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$.
3. $a^b / a^c = a^{b-c}$.
4. $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.
5. $a^{-b} = 1 / a^b$.
6. $1 / a^{-b} = a^b$.
7. $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$.
8. $(a / b)^c = a^c / b^c$.
9. $(a / b)^{-c} = a^{-c} / b^{-c} = b^c / a^c$.

Problema del alambre

Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las dos terceras partes a 3 € el metro, 1 sexto del resto a 4 € el metro y los metros que quedan a 2 € el metro. ¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €?

Respuesta:

• 1ª Etapa: 2 tercios de 90 = 60 m; quedan 30 m.
• 2ª Etapa: 1 sexto de 30 = 5 m; quedan 25 m.
• Cálculo de ventas:
  • 60 m por 3 €/m = 180 €
  • 5 m por 4 €/m = 20 €
  • 25 m por 2 €/m = 50 €
  • Total ventas: 180 + 20 + 50 = 250 €
• Solución:
  • Precio de costo: 90 m por 2 €/m = 180 €
  • Ganancia: 250 € - 180 € = 70 €

División de polinomios

• Hallamos el primer término del cociente, dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.
• Este término lo multiplicamos por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo restamos al dividendo.
• Repetimos el proceso hasta que el polinomio resto tenga un grado menor que el divisor.

Notación científica

"Consiste en expresar los números con una sola cifra significativa (distinta de 0) antes de la coma".

Intervalos

• Si va entre [ ]: Es cerrado, se colorean los puntos en la representación y se dice que los extremos pertenecen al intervalo.
• Si va entre ( ): Es abierto, no se colorean los puntos y se dice que no pertenecen al intervalo.

Igualdades notables

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
• $(-a + b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
• $(-a - b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
• $(-a + b) \cdot (a - b) = -(a^2 - 2ab + b^2)$ (Nota: El texto original indicaba $a^2 - b^2$, se mantiene la estructura solicitada).

Fórmula para factorizar

-b ± raíz cuadrada de (b al cuadrado - 4 · a · c) dividido entre 2 · a