Concepto de Centro de Masas y Movimiento del Centro de Masas

Concepto de Centro de Masas de un Sistema de Partículas

Se define como centro de masas de un sistema al punto en el que, en promedio, se encuentra la masa del mismo. Por lo general, las posiciones de las partículas del sistema cambiarán en el tiempo, dando lugar a un desplazamiento del centro de masas. Su posición será, por tanto, función del tiempo R(t). Al relacionar el momento lineal total del sistema con el centro de masas: P = M * V, donde V = dR/dt es la velocidad del centro de masas y se ha supuesto que tanto las masas de las partículas como la masa total del sistema M no cambian con el tiempo. El teorema del momento lineal puede describirse también de la siguiente manera: F_ext = dP/dt = M * dV/dt = M * A, donde A es la aceleración del centro de masas. En el caso de un sólido rígido que solo se traslada, todos los puntos del mismo se mueven igual, en consecuencia, las velocidades del centro de masas serán iguales a las de cualquier otro punto del sólido.

Si observamos el movimiento de un sistema desde una distancia mucho mayor que las dimensiones del mismo, este parece puntual y su posición coincide con la del centro de masas. Sin embargo, si observamos el sistema desde una distancia lo suficientemente cercana, podemos observar que, por lo general, el movimiento de cada partícula del sistema alrededor del centro de masas es diferente.

Dinámica del Sólido Rígido alrededor de un Eje Fijo. Momento de Inercia

Supongamos que tenemos un sólido que gira alrededor de un eje que pasa por dos puntos fijos del mismo. Tomemos un sistema de referencia donde coincida el eje z con el eje y, de esta manera, el origen pertenece a él. Observamos que un elemento de masa dm describe una circunferencia de radio p = |r| * sen(α) alrededor de z. La velocidad de este elemento dm es tangente a la circunferencia y de módulo v = ω * p. A pesar de que la velocidad de rotación ω es la misma en todos los puntos, la velocidad de cada elemento dm depende de su distancia respecto al eje. El momento angular viene dado por dL = r x v * dm. r y v son perpendiculares, por lo que el módulo es dL = r * v * dm. Pero como la dirección del vector dL depende del elemento dm, no se puede olvidar el carácter vectorial del momento angular. La dirección del eje z viene dada por dL_OZ = r * v * dm * sen(θ), siendo θ el ángulo creado por r y ω. L_OZ no depende del eje Oz, por lo que se puede escribir L = I * ω, y se ha definido el momento de inercia como I = ∫ p^2 * dm. El teorema del momento angular establece una relación entre el momento angular total del sistema respecto al origen y el momento de las fuerzas externas referido a ese mismo origen: M = dL/dt. Sustituyendo la forma de L por la ecuación L = I * ω, queda M = I * α, siendo α la aceleración angular de rotación del sólido. Cuando el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sólido no tiene componente en la dirección del eje, el producto I * ω se mantiene constante. Esto es válido para cuerpos no rígidos donde varía el momento de inercia. Si el momento es nulo, las variaciones de I van acompañadas de variaciones de ω que mantienen constante su producto. La falta de paralelismo entre ω y M tiene consecuencias importantes. Cuando el eje de rotación permanece fijo, el vector momento angular cambia de dirección con la rotación. Esto implica que hay que ejercer un momento de fuerza no nulo para mantener fija la dirección del eje. Si no hay ninguna fuerza exterior, el teorema del momento angular nos dice que el momento angular es constante en módulo y dirección. En este caso, será el eje de rotación el que vaya cambiando de dirección.