Comandos Esenciales de MATLAB para Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Gestión de Matrices en MATLAB

Para controlar la visualización de los resultados, utiliza los siguientes comandos:

• format short: Formato estándar.
• format long: Formato de alta precisión.
• format rat: Representación en forma de fracción (x/y).
• format shorte: Notación científica (ej. 3e-5).

Manipulación de Elementos

• Definición: A = [fila1; fila2; ...]
• Extracción: A(fila, columna)
• Modificación: A(fila, columna) = nuevo_valor
• Selección de filas/columnas:
  • Fila completa: A(fila, :)
  • Rango de columnas: A(fila, inicio:fin)
  • Rango de filas: A(inicio:fin, columna)
• Submatriz: A(fila_ini:fila_fin, col_ini:col_fin) (siempre en rango creciente).

Operaciones Matriciales

• Traspuesta: A'
• Matriz conjugada: A' (o conj(A)).
• Bloques: [A | E] (concatenación horizontal) o [A; E] (concatenación vertical).
• Matriz de unos: 23 * ones(3)
• Matriz identidad: eye(x, y)

Sistemas de Ecuaciones Lineales (Ax = b)

• SCD (Sistema Compatible Determinado): Si rank(A) = rank(A|b) = nº incógnitas, entonces x = A \ b.
• SCI (Sistema Compatible Indeterminado): Si rank(A) = rank(A|b) < nº incógnitas:
  1. Solución sistema homogéneo: null(A, 'r')
  2. Solución particular: x0 = A \ b

Factorización y Reducción

• Factorización LU: Operaciones elementales en A hasta obtener ceros debajo de la diagonal principal (U). L = A * inv(U).
• Menores de una matriz: for k = 1:4; det(A(1:k, 1:k)); end
• Forma escalonada reducida: rref(A)
• Operaciones elementales por filas: A(fila, :) = A(fila, :) + n * A(otra_fila, :)
• Intercambio de filas:

  v = A(f, :);
  A(f, :) = A(F, :);
  A(F, :) = v;

Métodos Iterativos

Para sistemas Ax = b, donde x = (A \ b) y x_k es una sucesión que converge a x en C^n.

• Clásicos: A = M - N, lo que deriva en x_{k+1} = M \ (N * x + b).
• Descomposición: A = D (diagonal) + L (triangular inferior) + U (triangular superior).
• Algoritmos:
  • Jacobi: M = D, N = M - A
  • Gauss-Seidel: M = D + L, N = M + A
  • Relajación (w ≠ 0): M = D/w + L
• Cálculo: for k = 1:50; x = M \ (N * x + b); end. Verificar con norm(A * x - b).

Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

• Independencia lineal: Si A = (v1 | v2 | v3 | v4) y rank(A) = 4, el conjunto es libre.
• Pertenencia a subespacio: A * x = v se resuelve como A \ v.
• Rango y Base:
  • rank(f) = dim[Im(f)] = rank(A)
  • Base Imagen: rref(A) (tomar filas no nulas).
  • Base Núcleo (Ker): null(A, 'r')