Cinemática y Dinámica del Movimiento Circular y Gravitación

Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Fórmulas fundamentales:

• θ (rad) = θ₀ + ω·t
• v (m/s) = ω · r o también v = 2π · r / T
• ω (rad/s) = 2π / T
• s (m) = v · t o también s = θ · r
• T (s) = 2π / ω (tiempo en dar 1 vuelta)
• f (Hz) = 1 / T
• a_c (m/s²) = v² / r o también a_c = ω² · r
• a_t = 0
• a_tot = √a_c²

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA)

Donde α es la aceleración angular en rad/s²:

• θ = θ₀ + ω₀·t + 1/2 · α · t²
• ω = ω₀ + α · t
• v = ω · r o también v = 2π · r / T
• s = θ · r o también s = v · t
• T (s) = 2π / ω (tiempo en dar 1 vuelta)
• f (Hz) = 1 / T
• a_c = v² / r o también a_c = ω² · r (relacionado con a · cos)
• a_t = α · r (relacionado con a · sen)
• a_tot = √(a_c² + a_t²)

Dinámica de Sistemas en Rotación

Fórmulas aplicadas a objetos girando (donde v² puede expresarse como (2π · r / T)²):

• Tensión: F_c = T; T = m · v² / r
• Fuerza de Rozamiento: F_c = F_roz; m · v² / r = µ · N (donde N = m · g)
• Fuerza Gravitatoria: F_c = F_g; m · v² / r = G · m₁ · m₂ / r²
• Fuerza Eléctrica: F_c = F_e; m · v² / r = K · q₁ · q₂ / r²

Movimiento en Planetas y Satélites

F_g = m · a_c; por lo tanto: G · m · M / r² = m · v² / r

Leyes de Kepler

Nota: Los planetas alcanzan su máxima velocidad en el perihelio.

• Momento Angular: L = r · p = r · m · v (Relacionado con la 2ª Ley).
• 3ª Ley de Kepler: T² / r³ = K; por consiguiente: T²₁ / r³₁ = T²₂ / r³₂

Descripción de las Leyes:

1. 1ª Ley: Establece que los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de sus focos.
2. 2ª Ley: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que el planeta se desplaza más rápido cuando está cerca del Sol (perihelio) y más lento cuando está lejos (afelio).
3. 3ª Ley: Indica que cuanto más alejado está un planeta del Sol, mayor es el tiempo que tarda en completar su órbita (el cuadrado del período es proporcional al cubo de la distancia media).

Casos Prácticos y Aplicaciones

El Tractor

En un sistema de tractor, ambas ruedas mantienen la misma velocidad lineal (recorren el mismo espacio). Sin embargo:

• La ω (velocidad angular) es mayor en la rueda pequeña (da más vueltas en menos tiempo).
• El T (período) es mayor en la rueda grande (tarda más en dar una vuelta).
• La f (frecuencia) es mayor en la rueda pequeña (realiza más vueltas por segundo).

Plato, Piñón y Rueda

• V_plato = V_piñón
• ω_piñón = ω_rueda (ya que giran solidariamente sobre el mismo eje).

Aceleración Centrípeta en función de r y T

a_c = v² / r = (2π · r / T)² / r = (4π² · r² / T²) / r = 4π² · r / T²

Estudio del Péndulo Cónico

• Radio: r = L · sen(α) (útil para despejar el ángulo α).
• Eje X: F_c = T_x; m · a_c = T · sen(α)
• Eje Y: T_y - P = 0; T · cos(α) - m · g = 0; de donde T = m · g / cos(α)
• Sustituyendo el valor de T en el Eje X: m · v² / r = T · sen(α) para calcular la velocidad v.

Fobos y Deimos

• Para cálculos orbitales usamos: T²₁ / r³₁ = T²₂ / r³₂; despejando: T²₂ = T²₁ · r³₂ / r³₁
• Momento Angular: L = m · r · v
• Masa del Planeta (con r en metros y T en segundos): F_g = m · a_c; G · m · M / r² = m · v² / r; simplificando: G · M / r = v²
• M = v² · r / G; o sustituyendo v: M = (2π · r / T)² · r / G

Satélite Geoestacionario

Para calcular la altura, sabemos que el período T = 1 día (24h). Solo existe una altura específica para que este período se mantenga.

• Aplicando la 2ª Ley de Newton: F_g = F_c; G · m · M / r² = m · v² / r; por lo tanto v = √(G · M / r)
• Igualamos con la velocidad orbital: 2π · r / T = √(G · M / r)
• Elevando al cuadrado: 4π² · r² / T² = G · M / r
• Despejando el radio: r³ = G · M · T² / 4π²; finalmente r = ∛(G · M · T² / 4π²)