Campos Conservativos e Integrales de Línea: Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial

Más soluciones Hoja 3b

18) Campos conservativos y función potencial

i) Campo conservativo

F = (3x²yz + 2xy)i + (x³z + x² + 2yz)j + (x³y + y² + 1)k

Curva: c(t) = (cos t, sen t, t³), con t ∈ [0, π]

c(0) = (1, 0, 0)    c(π) = (−1, 0, π³)

Rotacional:

∇ × F = |i   j   k; ∂/∂x   ∂/∂y   ∂/∂z; F₁   F₂   F₃| = i(x³ + 2y − x³ − 2y) − j(3x²y − 3x²y) + k(3x²z − 3x²z) = 0

Campo conservativo: existe función potencial.

Cálculo del potencial:

• F₁ = ∂f/∂x = 3x²yz + 2xy  ⟹  f = ∫(3x²yz + 2xy)dx = x³yz + x²y + k₁(y, z)
• F₂ = ∂f/∂y = x³z + x² + ∂k₁/∂y  ⟹  ∂k₁/∂y = 2yz  ⟹  k₁ = ∫2yz dy = y²z + k₂(z)
• F₃ = ∂f/∂z = x³y + y² + ∂k₂/∂z  ⟹  ∂k₂/∂z = 1  ⟹  k₂ = z + k₃

Potencial final: f = x³yz + x²y + y²z + z + k₃

Para la integral de línea, basta sustituir los valores del punto inicial y final en el potencial.

ii) Campo conservativo

F = (3x²yz² − 2xy)i + (x³z² − x² + z³)j + (2x³yz + 3z²y + sen z)k

Rotacional:

∇ × F = i(2x³z + 3z² − 2x³z − 3z²) − j(6x²yz − 6x²yz) + k(3x²z² − 2x − 3x²z² + 2x) = 0

Campo conservativo: existe función potencial.

Cálculo del potencial:

• F₁ = ∂f/∂x = 3x²yz² − 2xy  ⟹  f = x³yz² − x²y + k₁(y, z)
• F₂ = ∂f/∂y = x³z² − x² + ∂k₁/∂y  ⟹  ∂k₁/∂y = z³  ⟹  k₁ = z³y + k₂(z)
• F₃ = ∂f/∂z = 2x³yz + 3z²y + ∂k₂/∂z  ⟹  ∂k₂/∂z = sen z  ⟹  k₂ = −cos z + k₃

Potencial: f = x³yz² − x²y + z³y − cos z + k₃

v) Campo no conservativo

F = e^zi − cos(xy)j + z³yk

Rotacional:

∇ × F = i(z³ − 0) − j(0 − e^z) + k(y sen(xy) − 0) ≠ 0

Campo no conservativo: no existe función potencial. No se intenta calcularlo porque aparecen incongruencias.

19) Demostración de que la integral de línea es nula

F = (z³ + 2xy)i + x²j + 3xz²k

a) Utilizando el potencial

Con z = 0, se tiene ∇ × F = 0: campo conservativo.

Potencial: f = xz³ + x²y + k

∮_c F · dS = f(0,0,0) − f(0,0,0) = k − k = 0

b) Cálculo directo

Circunferencia de centro C(1/2, 1/2) y radio r = √2/2:

x = 1/2 + r cos θ    dx = −r sen θ dθ
y = 1/2 + r sen θ    dy = r cos θ dθ

F = 2xyi + x²j (con z = 0)

dS = r(−sen θi + cos θj + 0k)

∮_c F · dS = ∫₀^2π [r(−2)(1/2 + r cos θ)(1/2 + r sen θ) sen θ + r(1/2 + r cos θ) cos θ] dθ

Teorema de Green: Q = x², P = 2xy

∂Q/∂x − ∂P/∂y = 2x − 2x = 0

∮ P dx + Q dy = ∬_D 0 dx dy = 0

Observación: ∮ 0 dx = k − k = 0.

20) Campo gravitatorio y trabajo

r = xi + yj + zk,   r = ||r|| = √(x² + y² + z²)

F = −GMm r/r³ = −GMm/r² · u_r

F = −GMm (x/r³, y/r³, z/r³)

Por comodidad, para calcular el rotacional se prescinde de −GMm; el resultado es el mismo.

1. Cálculo del rotacional

∂/∂y (z/r³) = z · (−3/2)(x² + y² + z²)^−5/2 · 2y = −3yz/r⁵

∂/∂z (y/r³) = −3yz/r⁵

Análogamente para las demás componentes. Por tanto:

∇ × F = 0  ⟹  F es un campo gradiente.

2. Cálculo del potencial

∂f/∂x = x/r³  ⟹  f = ∫ x/(x² + y² + z²)^3/2 dx = −1/r + k₁(y, z)

∂f/∂y = y/r³  ⟹  ∂k₁/∂y = 0  ⟹  k₁ = k(z)

∂f/∂z = z/r³  ⟹  ∂k/∂z = 0  ⟹  k es constante

Potencial: f = GMm/r + k (con el signo de la fuerza incluido)

3. Trabajo

W = ∫_c F · dS = f(r₂) − f(r₁) = GMm/r₂ − GMm/r₁

Si c va de r₁ a r₂ = r₁ + h, con h ≪ r₁, se obtiene aproximadamente W = mgh.

21) Verificación con el teorema de Green

Recinto cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Curvas:

• c₁: y = 0, 0 → 1
• c₂: x = 1, 0 → 1
• c₃: y = 1, 1 → 0
• c₄: x = 0, 1 → 0

∮_c (y² + x³)dx + x⁴dy

P = y² + x³,   Q = x⁴  ⟹  ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 4x³ − 2y

∬_R (4x³ − 2y) dx dy = ∫₀¹ [x⁴ − x]₀¹... = ∫₀¹ (4x³ − 1) dx = [x⁴ − x]₀¹ = 0

22) Integral de línea sobre la circunferencia unidad

P = 2y,   Q = x,   D: disco unidad.

Parametrización: x = cos θ, y = sen θ, θ ∈ [0, 2π]

∮_c 2y dx + x dy = ∫₀^2π (−2 sen²θ + cos²θ) dθ = ∫₀^2π (−3 sen²θ + 1) dθ = −3π + 2π = −π

Comprobación con Green:

∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx dy = ∬_D (1 − 2) dx dy = −∬_D dx dy = −π

En polares: ∫₀^2π ∫₀¹ r dr dθ = 2π · 1/2 = π, por tanto el resultado es −π.

23) Integral de línea sobre una elipse

F = xy²i − yx²j,   c: x²/a² + y²/b² = 1

∮_c F · dS = ∬_E (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx dy = ∬_E (−2xy − 2xy) dx dy = −4 ∬_E xy dx dy

Por simetría respecto a ambos ejes, la integral de xy sobre la elipse es nula:

−4 ∫_−a^a x dx ∫_{−b√(1−x²/a²)}^{b√(1−x²/a²)} y dy = −4 ∫_−a^a x [y²/2] dx = 0

24) Integral doble mediante Green

∮_c x²y dx + 3y²x dy = ∬_R (3y² − x²) dx dy = ∫₁² dx ∫₁² (3y² − x²) dy

25) Área mediante integrales de línea

i) Área del polígono

Tramos:

• c₁: x = 3 − 2t, y = 4 − 4t, t ∈ (0, 1]
• c₂: x = 1 + 4t, y = −t
• c₃: x = 5 − 2t, y = −y + 5t

∫_c1 (−y dx + x dy) = −4    ∫_c2 (−y dx + x dy) = −1    ∫_c3 (−y dx + x dy) = 23

A = ½ [−4 − 1 + 23] = 9

ii) Área del polígono de cuatro lados

Tramos: c₁: (3t, 1 − t); c₂: (3 + t, 3t); c₃: (4 − 3t, 3 − t); c₄: (1 − t, 2 − t).

∫_c1 = −3    ∫_c2 = 9    ∫_c3 = 5    ∫_c4 = 1

A = ½ [−3 + 9 + 5 + 1] = 6

iii) Área de la elipse

y = ±b√(1 − x²/a²),   dy = (bx dx)/(a²√(1 − x²/a²))

∫_c1 = πab    ∫_c2 = πab

A = ½ (πab + πab) = πab

iv) Área entre y = x³ e y = √x

∫_c1 (−y dx + x dy) = ∫₀¹ 2x³ dx = 1/2

∫_c2 (−y dx + x dy) = ∫₁⁰ (−√x + x/(2√x)) dx = 1/3 (con el signo correspondiente)

A = ½ (1/2 − 1/3) = 5/12

v) Área de la curva polar r = 3 sen 2θ

A = ½ ∮ r² dθ = ½ ∫₀^π/2 9 sen²(2θ) dθ = 9π/8

A = 9π/8