Punto muerto, VAN y TIR: ejercicios resueltos de rentabilidad, payback y flujo de caja

Ejercicio 1

a) Cálculo del punto muerto y umbral de rentabilidad

Datos:

• Costes fijos (CF) = 2000 + 600 + 3000 + 400 = 6000 €
• Coste variable unitario (Cv) = 13 + 2 = 15 € por armario
• Precio de venta por unidad (P) = 30 €

Resolución:

Calculamos el punto muerto (Q*):

Q* = CF / (P − Cv) = 6000 / (30 − 15) = 6000 / 15 = 400 armarios.

Umbral de rentabilidad (ingresos totales e ingresos y costes totales en Q*):

• Ingreso total (IT) = P × Q = 30 × 400 = 12.000 €
• Coste total (CT) = CF + Cv × Q* = 6000 + (15 × 400) = 12.000 €

Se cumple IT = CT, por tanto la empresa necesitará vender 400 armarios para empezar a obtener beneficios. El punto muerto es el número de unidades que la empresa debe vender para recuperar todos sus costes.

b) Beneficio para Q = 600 unidades

Beneficio = Ingreso total − Coste total

B = P × Q − (CF + Cv × Q)

B = 30 × 600 − (6000 + 15 × 600) = 18.000 − (6000 + 9000) = 18.000 − 15.000 = 3.000 €.

c) Días para alcanzar el punto muerto

Si las 600 unidades se venden de manera uniforme a lo largo de 30 días:

• 600 unidades → 30 días
• 400 unidades → x días

x = 400 × 30 / 600 = 20 días. Llegaremos al punto muerto en el día 20 del mes.

d) Comparación de IT y CT para Q = 400 y Q = 600

• Si Q* = 400 → IT = CT = 12.000 € → Beneficio = 0
• Si Q = 600 → IT = P × Q = 30 × 600 = 18.000 €
• CT = CF + Cv × Q = 6000 + 15 × 600 = 15.000 €
• Beneficio = IT − CT = 18.000 − 15.000 = 3.000 €

En general: si Q > 400 entonces IT > CT → beneficios; si Q < 400 entonces IT < CT → pérdidas.

Flujos de caja y evaluación del proyecto

A) Caso A: flujos periódicos

Flujos de cobros y pagos (mensuales o periódicos):

Cobros: 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 50

Pagos: 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 60

Flujos netos (T netos): 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, −10

1. Criterio del flujo neto de caja total por unidad monetaria invertida (Ru)

Ru = (C1 + C2 + C3 + ... + C8) / Io

Suma de flujos netos = 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 − 10 = 340

Io (inversión inicial) = 150

Ru = 340 / 150 = 2,267 (> 1, por lo que obtendríamos ganancias).

2. Criterio del flujo medio anual (Rm)

Rm = (C1 + C2 + ... + C8) / n / Io

Rm = 340 / 8 / 150 = 340 / 1200 = 0,2833 ≈ 0,28

3. Plazo de recuperación (pay-back)

Con acumulación de flujos netos: la inversión se recuperaría en el año 3. (Se indica que con payback se recupera en el 3.º año.)

4. Valor Actual Neto (VAN)

Datos: Io = 150, flujos anuales: 50 (años 1 a 7), −10 (año 8), tasa de descuento i = 0,02 (2%).

Fórmula utilizada (con anualidades y flujo final distinto):

VAN = −Io + 50 × [1 − (1 + i)^(−7)] / i + (−10) × (1 + i)^(−8)

Aplicando i = 0,02:

VAN = −150 + 50 × (1 − 1.02^(−7)) / 0.02 − 10 × 1.02^(−8)

Resultados intermedios aproximados: 50 × (1 − 1.02^(−7)) / 0.02 ≈ 323,60; 10 × 1.02^(−8) ≈ 8,53

VAN = −150 + 323,60 − 8,53 = 165,07

Resumen métodos estáticos

• RU = 340 / 150 = 2,267 (> 1, por lo tanto rentable)
• RM = 340 / 8 / 150 = 0,28 (< 1 según la formulación media)
• Payback (según acumulación indicada): Aproximadamente en el 3.er año se recupera la inversión
• VAN = 165,07 (positivo, indicando que el proyecto genera valor) — por ello, entre RU y VAN, la preferencia se inclina por VAN

Observación: Con el payback se obtendrían ganancias a partir del 4.º año según una interpretación parcial, pero el flujo neto de caja total indica beneficios ya que RU > 1 y VAN > 0. Entre RU y VAN, se prefiere el VAN porque cuantifica la ganancia absoluta en valor actual: 165,07 €.

B) Caso B: flujos diferidos

Flujos: −150 (Io en t0), 100 (t1), 200 (t2)

Cálculos:

• Ru = (100 + 200) / 150 = 300 / 150 = 2
• Rm (medio) = 100 / 2 / 150 = 100 / 300 = 0,3333 ≈ 0,33 (si se aplica la fórmula indicada)
• Payback: −150 + 100 + 200 = 150 > 0 → la inversión queda cubierta; por el método del payback sería indiferente o favorable

VAN con i = 2% (0,02)

VAN = −150 + 100 × (1 + 0,02)^(−1) + 200 × (1 + 0,02)^(−2)

Calculando: VAN ≈ −150 + 100 / 1,02 + 200 / 1,02^2 ≈ −150 + 98,04 + 192,23 = 140,27

Observación: El enunciado decía "Con el VAN no obtendríamos ganancias ya que es menor al invertido." Esa interpretación es incorrecta: el VAN expresa el valor presente neto y en este caso es positivo (140,27), por lo que el proyecto aporta valor adicional sobre la inversión inicial.

K) Cálculo de la TIR (cuando VAN = 0)

Condición: 0 = −150 + 100 × (1 + r)^(−1) + 200 × (1 + r)^(−2)

Sea x = (1 + r). La ecuación queda:

0 = −150 + 100 / x + 200 / x^2 → multiplicando por x^2:

0 = −150 x^2 + 100 x + 200

Reordenando: −150 x^2 + 100 x + 200 = 0

Multiplicamos por −1 para facilitar: 150 x^2 − 100 x − 200 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática x = [100 ± sqrt(100^2 + 4 × 150 × 200)] / (2 × 150)

Discriminante = 10000 + 120000 = 130000 → sqrt ≈ 360,5551275

x1 = (100 + 360,5551) / 300 ≈ 1,53518

x2 = (100 − 360,5551) / 300 ≈ −0,8685 (descartada por ser negativa)

Por tanto x ≈ 1,53518 → r = x − 1 ≈ 0,53518 → TIR ≈ 53,52 %

Observación: en el documento original aparece un resultado de 153 %; esa cifra parece derivar de expresar x (1,535) multiplicado por 100 como porcentaje de x en lugar de calcular r = x − 1. La tasa interna de retorno correcta es aproximadamente 53,5 %.

Si la referencia en el texto indica que 153 % (> 40 %) entonces, con una tasa de referencia del 40 %, el proyecto seguiría siendo atractivo, ya que la TIR (53,5 %) es mayor que la tasa de corte del 40 %.

Conclusiones y recomendaciones

• Para el problema de producción: el punto muerto es 400 armarios; vender más de 400 unidades genera beneficio.
• En el Caso A, medidas estáticas y dinámicas (RU y VAN) indican viabilidad; VAN = 165,07 € y RU ≈ 2,27.
• En el Caso B, VAN = 140,27 € positivo y RU = 2, por lo que también resulta favorable.
• La TIR calculada correctamente para el flujo −150, 100, 200 es ≈ 53,5 %; si la tasa mínima aceptable fuera 40 %, el proyecto sería interesante.

Nota: Se han corregido errores ortográficos y de formato, aclarado pasos de cálculo y mantenido todos los datos y resultados originales salvo rectificaciones numéricas justificadas (por ejemplo, en el cálculo de la TIR donde se corrige la interpretación).