Cálculo de Potencia Media en Resistores y Densidad de Potencia en Sistemas de Radiofrecuencia

1. Cálculo de la Potencia Media Disipada en un Resistor

Calcule la potencia media (P) que se disipa en ese resistor, expresándola en dBm (6 p).

Procedimiento de Cálculo

Podemos tomar la potencia media de los nueve escalones del periodo, pero es más fácil si solo se considera medio periodo T/2. En T/2, el escalón de 4V que dura Δt = 1 ms aportará una energía que será su potencia instantánea p(t) = (4V)² / R = (16/5) W multiplicada por Δt, es decir: 16/5 mJ.

Los otros escalones de 3V, 2V y 1V aportarán las siguientes energías respectivamente:

• 9/5 mJ
• 4/5 mJ
• 1/5 mJ

El medio escalón de cero voltios durante 0,5 ms no aporta energía. Por lo tanto, la energía total U = 30/5 = 6 mJ que es disipada durante T/2 = 4,5 ms supone una potencia media de:

P = (6 / 4.5) mJ/ms = 1,333 W = 1.333 mW = 31,25 dBm.

2. Comparación con una Señal Triangular

Con un gran número de escalones, pero de menor tamaño, podríamos aproximarnos mucho a la señal triangular dibujada en línea continua. Por ello, la potencia P que se pide en el apartado anterior no será muy distinta de la obtenida con el valor eficaz de tal señal triangular Vef = Vp / √3, donde Vp = 4.5V.

Diga si ello es así, indicando el error relativo ε = (P - P_Δ) / P_Δ (expresado en %) cometido al tomar P como aproximación de la potencia media P_Δ de la señal triangular calculada mediante Vef (4 p).

Cálculo del Error Relativo

Por la definición de valor eficaz:

P_Δ = (Vef)² / R = (Vp)² / (3R) = (4,5V)² / 15 = 1,35 W.

Por tanto, P está cerca de P_Δ y el error relativo será:

ε = (P - P_Δ) / P_Δ = (1,333 - 1,35) / 1,35 = -1,26%.

Nota: Este error negativo indica que la potencia de la señal triangular es mayor que la de su aproximación escalonada porque, allí donde los valores son más altos, la señal triangular está por encima de la escalonada y estos valores altos son los que más energía aportan al elevarse al cuadrado.

3. Generador de Radiofrecuencia (RF) y Densidad de Potencia

Tenemos un generador de radiofrecuencia (RF) (transmisor TX) que da una señal sinusoidal de Vp = 10 voltios de amplitud sobre una carga RL = 50Ω conectada a su salida (carga adaptada a su resistencia de salida Rg = 50Ω).

Si en lugar de esa carga conectamos a la salida de este TX una antena cuya impedancia a la frecuencia de trabajo es Z = 50Ω + j0Ω y dicha antena tiene una ganancia de GT = 3 dB respecto a la antena isótropa, ¿qué densidad de potencia DRX (W/m²) creará esta antena en un receptor situado a 20 km de distancia, estando orientada hacia dicho receptor para aprovechar esa ganancia? (8 p).

Resolución del Problema de RF

Si sobre los 50Ω de la carga conectada a la salida del TX hay una amplitud Vp = 10 voltios de señal de tipo sinusoidal (radiofrecuencia), la potencia entregada a RL = 50Ω será:

P = (1/2) * (10² / 50) = 1W.