Cálculo de la Longitud de Arco: Fórmulas y Demostración Matemática
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Cálculo de la Longitud de Arco
Al considerar una curva definida por una función 
y su respectiva derivada 
, que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
1. Curvas en forma paramétrica
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como 
e 
, la longitud del arco desde el punto 
hasta el punto 
se calcula mediante:
2. Curvas en coordenadas polares
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada radial y el ángulo polar están relacionados mediante 
, la longitud del arco comprendido en el intervalo ![[\alpha, \beta] \,](http://upload.wikimedia.org/math/8/c/6/8c6ce103bd2dced02e71009e5e83dbe4.png)
toma la forma:
3. Consideraciones sobre integración numérica
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
4. Demostración y aproximación geométrica
Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito, podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido.
Para hacer a este método más funcional, podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a 
, al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas.
Desarrollo algebraico
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión. Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales.