Cálculo de Límites, Continuidad y Asíntotas: Conceptos y Resolución
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Límites
±∞ en funciones polinómicas
Resultado: Puede ser ±∞.
Resolución: Se elige el signo del infinito según sea el límite del monomio de mayor grado.
±∞ / ±∞ en funciones racionales
El resultado puede ser cualquier número real o ±∞.
Resolución: Antes de sustituir la variable, dividir todos los términos del numerador y denominador por x elevado a n, donde n es el grado del denominador. Simplificar los cocientes y volver a sustituir la variable.
Método abreviado de resolución:
- Si el grado del numerador es menor que el del denominador: el límite es 0.
- Si el grado del numerador es mayor que el del denominador: el límite es ±∞ (el signo se obtiene del cociente de signos de la indeterminación).
- Si el grado del numerador es igual al grado del denominador: el límite es el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado.
k/0 e ∞/0 en funciones racionales
El resultado puede ser ±∞ o no existir límite.
Resolución: Estudiar los límites laterales por separado, que serán siempre ±∞ cada uno de ellos.
0/0 en funciones racionales
Resultado: Puede ser cualquier número real, ±∞ o no existir.
Resolución: Antes de sustituir la variable, factorizar numerador y denominador. Simplificar y volver a sustituir la variable.
∞ - ∞ en funciones con sumas/restas de raíces
El resultado puede ser cualquier número real, ∞ o -∞.
Resolución: Antes de sustituir la variable, multiplicar y dividir por la expresión conjugada. Operar y volver a sustituir la variable.
Continuidad
- Discontinuidad evitable: El límite no es igual a la imagen.
- Discontinuidad de salto finito: Los límites laterales no coinciden, pero existen.
- Discontinuidad de salto infinito: Los límites laterales existen y al menos uno de ellos es ±∞.
- Discontinuidad de segunda especie: No existe el límite porque uno de los límites laterales no existe.
Asíntotas
- A.V. (Vertical): Denominador = 0 y despejar x. El límite cuando x tiende a ese valor tiene que dar ±∞.
- A.H. (Horizontal): Límite cuando x tiende a ±∞. Tiene que dar un número real.
- A.O. (Oblicua): Límite de f(x)/x cuando x tiende a ±∞ = m. Límite de (f(x) - mx) cuando x tiende a ±∞ = n. La ecuación es y = mx + n.