Cálculo Integral: Fórmulas de Longitud, Volúmenes y Métodos Numéricos

Longitud de una Curva

La longitud de una curva se define aproximadamente como: L ≈ ∑_{i=1}^{n} √((Δxᵢ)² + (Δyᵢ)²). Para su cálculo, consideramos g(y) a la izquierda y f(y) a la derecha.

Deducción del Concepto

• Tomamos la curva y = f(x) en el intervalo [a, b] y lo dividimos en n subintervalos iguales.
• Factorizamos Δxᵢ de la expresión de la distancia.
• A cada par de puntos consecutivos (xᵢ₋₁, yᵢ₋₁) y (xᵢ, yᵢ) les trazamos una recta, formando un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es: Δs = √(Δx² + Δy²).
• La longitud total queda aproximada por la sumatoria: √(Δxᵢ)² + (Δyᵢ)².
• Si aplicamos la identidad √1 + (Δyᵢ/Δxᵢ)² · Δxᵢ y hacemos que n → ∞, obtenemos la fórmula integral:

L = ∫ₐᵇ √1 + (f'(x))² dx

Cálculo de Áreas y Volúmenes

Método de Arandelas

Para este método, se despeja y según lo indique el problema. Si f(x) está arriba y g(x) está abajo, el volumen se calcula como:

V = π · ∫ₐᵇ [f²(x) - g²(x)] dx

Tipos de Regiones

• Tipo 1: f(x) arriba y g(x) abajo. El área es R = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx.
• Tipo 2: Se despeja x y se integra respecto a y: R = ∫ₐᵇ [f(y) - g(y)] dy.

Métodos Numéricos de Aproximación

Método de Euler

Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de forma numérica:

• Fórmula: yₖ₊₁ = yₖ + h · f(xₖ, yₖ)
• Paso (h): h = (b - a) / n
• Iteración: xᵢ = x₀ + h hasta llegar a xₙ.
• Se debe entrar la ecuación f(x, y), los valores iniciales x₀, y₀ y el paso h. Se tabula en la ecuación para obtener y(x₁) ≈ y₁.

Método de Romberg

Este método utiliza la regla del trapecio para mejorar la precisión:

• Utiliza la relación Rᵢ,ⱼ = (4ʲ⁻¹ · Rᵢ,ⱼ₋₁ - Rᵢ₋₁,ⱼ₋₁) / (4ʲ⁻¹ - 1).
• Para Rᵢ,₁: para n = 2ⁱ⁻¹ se usa la Regla del Trapecio: Tₙ = h/2 [f(x₀) + 2 · ∑f(xᵢ) + f(xₙ)].
• Se organizan los resultados en una tabla hasta alcanzar el nivel de precisión deseado.

Tabla de Integrales Fundamentales

Integrales Básicas

• ∫ dx = x + C
• ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n+1) + C
• ∫ eˣ dx = eˣ + C
• ∫ ln(x) dx = x · ln(x) - x + C
• ∫ a dx = a · x + C
• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
• ∫ aˣ dx = (aˣ) / ln(a) + C

Integrales Trigonométricas

• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sen(x) + C
• ∫ tan(x) dx = ln|sec(u)| + C
• ∫ cot(x) dx = ln|sen(u)| + C
• ∫ sec(x) dx = ln|sec(u) + tan(u)| + C
• ∫ csc(x) dx = ln|csc(u) - cot(u)| + C
• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + C
• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C
• ∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x) + C
• ∫ csc(x)·cot(x) dx = -csc(x) + C

Integrales de Funciones Inversas y Especiales

• ∫ 1/√(a² - x²) dx = arcsen(x/a) + C
• ∫ 1/(a² + x²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C
• ∫ 1/[x√(x² - a²)] dx = (1/a) arcsec(|x|/a) + C
• ∫ 1/√(x² - a²) dx = ln|x + √(x² - a²)| + C
• ∫ 1/√(x² + a²) dx = ln|x + √(x² + a²)| + C

Métodos de Integración

1. Sustitución: Se define u = g(x), entonces du = g'(x) dx.
2. Por Partes: ∫ u dv = u · v - ∫ v du.
   • Para elegir u, se recomienda el orden de prioridad: funciones logarítmicas, inversas trigonométricas, polinómicas, trigonométricas y exponenciales.
   • Para dv se suelen usar funciones trigonométricas o exponenciales.
3. Integral Definida: Según el Teorema Fundamental del Cálculo: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a).