Cálculo y Coordinación del Trazado en Planta y Alzado en Carreteras
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1. Cálculo Coordinado de los Trazados en Planta y en Alzado
El diseño y encaje geométrico tridimensional de vías requiere la sincronización y cálculo conjunto de los elementos en planta (alineaciones rectas, curvas circulares y curvas de transición o clotoides) y en alzado (rasantes uniformes y acuerdos parabólicos verticales).
1.1. Determinación del Vértice de Alzado ($V$)
- Cálculo de la ordenada del vértice ($S_V$):
$$Z_{PI} + \left(\frac{i_e}{100}\right) \times (S_V - S_{PI}) = Z_{PF} - \left(\frac{i_s}{100}\right) \times (S_{PF} - S_V)$$ - Parámetros angulares y de longitud: Se determinan $\theta$, $L$ y la tangente $T$.
- Cálculo de $V$ en alzado:
Abscisa: $S_V$
Cota del vértice: $$Z_V = Z_{PI} + \left(\Delta S_{V-PI} \times \frac{i_e}{100}\right)$$
Pendiente en el punto: $$i_V = i_e + \left(\frac{T \times 100}{K_V}\right)$$
1.2. Transición y Puntos Singulares: Tangente de Entrada ($TE$) y Tangente de Salida ($TS$)
- Definición angular: Azimutes o giros de entrada y salida $\theta_e$, $\theta_s$, resultando el ángulo total: $$\Omega = \theta_s - \theta_e$$
- Parámetros de la clotoide: Longitud $$L = \frac{A^2}{R}$$, variación angular $$\Delta\theta = \frac{L \times 100}{\pi \times R}$$ (o en radianes/gon según el sistema).
- Interpolación: $$\text{Interpolación} = \frac{(c - a) \times (z - x)}{c - a} + x$$
- Coordenadas locales de transición: $X_l$, $Y_l$.
- Ángulo y cuerda: $$t = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right), \quad c = \frac{Y}{\sin(t)}$$
- Retranqueo y desplazamiento del centro:
$$X_0 = X_l - (R \times \sin \Delta\theta)$$
$$\Delta R = Y_l + (R \times \cos \Delta\theta) - R$$
$$T = (R + \Delta R) \times \tan\left(\frac{\Omega}{2}\right) + X_0$$
1.3. Punto Tangente Entrada ($TE$)
- En planta: Orientación $A_{V-TE} = (T, (\theta_e - 200))$.
Cálculo de $PK_{TE}$: $A_{V-PI} - T \implies PK_{TE} = PK_{PI} + (A_{V-PI} - T)$. - En alzado:
$$\Delta S_{TE} = PK_{TE} - S_{PI}$$
$$Z_{TE} = Z_{PI} + \left(\Delta S_{TE} \times \frac{i_e}{100}\right)$$
1.4. Punto de Tangencia Entrada-Acuerdo ($TEA$)
- En planta:
$$S_{TEA} = PK_{TEA} - PK_{TE}$$
Parámetro: $$P = \frac{A^2}{S}$$
Variación angular: $$\Delta\theta = \frac{S \times 100}{\pi \times P}$$
Interpolamos: $X_l, Y_l$, $$t = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right), \quad c = \frac{Y_l}{\sin(t)}, \quad \theta_c = \theta_e \pm t$$
1.5. Tangente Salida Acuerdo ($TSA$) y Tangente de Salida ($TS$)
- Cálculo de $TSA$:
$$S_{TSA} = S_V + T$$
$$Z_{TSA} = Z_V + \left(T \times \frac{i_s}{100}\right)$$ - Cálculo de $TS$ en planta: Orientación $A_{V-TS} = (T, \theta_s)$; $$PK_{TS} = PK_{PF} - (A_{V-PF} - T)$$
- Cálculo de $TS$ en alzado:
$$\Delta S_{TS} = PK_{TS} - S_{TEA}$$
$$Z_{TS} = Z_{TEA} + \left(\Delta S_{TS} \times \frac{i_e}{100}\right) + \frac{\Delta S_{TS}^2}{2 \times K_V}$$
$$i_{TS} = i_e + \frac{\Delta S_{TS} \times 100}{K_V}$$ - Cálculo de $TSA$ en planta:
$$S_{TSA} = PK_{TSA} - PK_{TS}, \quad P = \frac{A^2}{S}, \quad \Delta\theta = \frac{S \times 100}{\pi \times P}$$
Interpolamos: $X_l, Y_l$, $$t = \arctan\left(\frac{Y_l}{X_l}\right), \quad c = \frac{Y_l}{\sin(t)}, \quad \theta_c = \theta_e \pm t$$
1.6. Punto Más Alto o Más Bajo ($PHA$)
- En alzado:
$$\Delta S_0 = \frac{-i_e \times L}{\theta}$$
$$S_{PHA} = S_{TEA} + \Delta S_0$$
$$Z_{PHA} = Z_{TEA} + \left(\frac{i_e}{100} \times \Delta S\right) + \frac{\Delta S^2}{2 \times K_V}$$ - En planta:
$$S_{PHA} = PK_{TS} - PK_{PHA}, \quad P = \frac{A^2}{S}, \quad \Delta\theta = \frac{S \times 100}{\pi \times P}$$
Interpolamos $X_l, Y_l$, $$t = \arctan\left(\frac{Y_l}{X_l}\right), \quad c = \frac{Y_l}{\sin(t)}, \quad \theta_c = (\theta_s - 200) \pm t$$
1.7. Principio de Curva Circular ($TC$) y Tangente Circular Final ($TC'$)
- Punto $TC$: Ángulo $t$ de la primera clotoide, $$c = \frac{Y_l}{\sin(t)}, \quad \theta_c = \theta_e + t, \quad PK_{TC} = PK_{TE} + L$$
- Cálculo de $TC$ en alzado:
$$\Delta S_{TC} = PK_{TEA} - PK_{TC}$$
$$Z_{TC} = Z_{TEA} + \left(\frac{i_e}{100} \times \Delta S\right) + \frac{\Delta S^2}{2 \times K_V}$$
$$i_{TC} = i_e + \frac{\Delta S \times 100}{K_V}$$ - Punto $TC'$:
$$a = PK_{TC'} - PK_{TC}, \quad \Omega = \frac{200 \times a}{\pi \times R}, \quad c = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right)$$
$$\theta_{TC} = \theta_e \pm \Delta\theta, \quad \theta_c = \theta_{TC} + \frac{\Omega}{2}$$
$$PK_{TC'} = PK_{TC} + \left(\frac{\pi \times R \times \Omega}{200} - L\right)$$ - Cálculo de $TC'$ en alzado:
$$\Delta S_{TC'} = PK_{TC'} - S_{TEA}$$
$$Z_{TC'} = Z_{TEA} + \left(\frac{i_e}{100} \times \Delta S_{TC'}\right) + \frac{\Delta S_{TC'}^2}{2 \times K_V}$$
$$i_{TC'} = i_e + \frac{\Delta S_{TC'} \times 100}{K_V}$$
1.8. Vértice Parábola Vertical ($PV$) y Punto Medio del Arco ($B$)
- Cálculo de $PV$ en alzado: Abscisa $S_{PV}$, cota $$Z_{PV} = Z_V + \frac{T^2}{2 \times K_V}, \quad i_{PV} = i_e + \frac{T \times 100}{K_V}$$
- Cálculo de $PV$ en planta:
$$a = PK_{PV} - PK_{TC}, \quad \Omega = \frac{200 \times a}{R \times \pi}, \quad c = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right)$$
$$\theta_{TC} = \theta_e \pm \Delta\theta, \quad \theta_c = \theta_C \pm \frac{\Omega}{2}$$ - Cálculo del punto $B$ en planta:
$$a_c = \left(\frac{\pi \times R \times \Omega}{200}\right) - L, \quad PK_B = PK_{TC} + \frac{a_c}{2}$$
$$a = PK_B - PK_{TC}, \quad \Omega = \frac{a \times 200}{\pi \times R}, \quad c = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\Omega}{2}\right), \quad \theta_c = \theta_{TC} + \frac{\Omega}{2}$$ - Cálculo del punto $B$ en alzado:
$$\Delta S = PK_B - S_{TEA}$$
$$Z_B = Z_{TEA} + \left(\frac{i_e}{100} \times \Delta S\right) + \frac{\Delta S^2}{2 \times K_V}$$
$$i_B = i_e + \frac{\Delta S \times 100}{K_V}$$
2. Cálculos de Puntos Situados en Acuerdo Vertical
Parámetros geométricos fundamentales de la parábola vertical:
- Diferencia algebraica de pendientes: $$\theta = i_s - i_e$$
- Longitud del acuerdo vertical ($L$) y parámetro del acuerdo ($K_V$):
$$L = K_V \times \frac{\theta}{100} \iff K_V = 100 \times \frac{L}{\theta}$$ - Semilongitud o tangente: $$T = \frac{L}{2}$$
- Punto inicial del acuerdo ($TE$):
Abscisa: $$S_{TE} = S_V - T$$
Cota: $$Z_{TE} = Z_V + \left(\frac{-i_e}{100} \times T\right)$$ - Punto final del acuerdo ($TS$):
Abscisa: $$S_{TS} = S_V + T$$
Cota: $$Z_{TS} = Z_V + \left(\frac{i_s}{100} \times T\right)$$ - Punto de cota extrema (Punto Alto / Bajo - $PH$):
$$\Delta S_0 = \frac{-i_e \times L}{\theta}$$
$$S_{PH} = S_{TE} + \Delta S_0$$
$$Z_{PH} = Z_{TE} + \left(\frac{\Delta S_{TE} \times i_e}{100}\right) + \frac{\Delta S_0^2}{2 \times K_V}$$ - Vértice del acuerdo ($PV$):
$$Z_{PV} = Z_V + \frac{T^2}{2 \times K_V}, \quad i_{PV} = i_e + \frac{T \times 100}{K_V}$$ - Puntos kilométricos situados en alineación recta:
$$Z_{PK} = Z_V + \left(\Delta S \times \frac{-i_e}{100}\right)$$ - Puntos kilométricos situados dentro del acuerdo vertical:
$$\Delta S = S_{PK} - S_{TE}$$
$$Z_{PK} = Z_{TE} + \left(\Delta S \times \frac{i_e}{100}\right) + \frac{\Delta S^2}{2 \times K_V}$$
$$i_{PK} = i_e + \frac{\Delta S \times 100}{K_V}$$
3. Comprobaciones y Cálculo de Puntos en Rasantes Uniformes y Acuerdos Verticales
- Longitud para velocidad de proyecto ($V_P$):
$$L_{VP} = \left(\frac{10 \times 1000}{3600}\right) \times V_P$$ - Comprobación para el resto de longitudes singulares:
$$L_1 = \left(\frac{S_{V1} \times 1000}{3600}\right) \times V_P$$ - Puntos evaluados: $Z_{V1}, Z_{V2}, Z_{VF}, TE, \theta, L, T, S_{TE}, Z_{TE}, PH, \Delta S_0, S_{PH}, Z_{PH}, PV, S_{PV}, Z_{PV}, i_{PV}, TS, S_{TS}, Z_{TS}$.
- Para las secciones adicionales se recalculan los valores con sus respectivos datos geométricos.
4. Intersecciones de Rasantes Uniformes
- Cota de rasante previa:
$$Z_{V2} = Z_{VF} + \left(\frac{\Delta S \times (-i_s)}{100}\right)$$ - Cálculo de $\Delta S$ para el vértice $V_1$:
$$Z_{V1} = Z_{V0} + \left(\frac{\Delta S \times i_e}{100}\right) = Z_{V2} + (S_{V2} - S_i - \Delta S) \times \left(\frac{-i_s}{100}\right)$$ - Coordenadas del vértice:
$$S_{V1} = S_i + \Delta S$$
$$Z_{V1} = Z_{V0} + \left(\frac{\Delta S \times i_e}{100}\right)$$ - Cálculo de los puntos singulares de los acuerdos individuales con sus datos específicos.
5. Acuerdo Vertical Convexo que Pasa por un Punto Obligado
Determinación del acuerdo vertical sujeto a la condición de paso por un punto $P(S_P, Z_P)$:
- Parámetro angular: $\theta = i_s - i_e$
- Cota proyectada en la tangente de entrada:
$$Z_{Pe} = \left((S_V - S_V) \times \frac{i_e}{100}\right) + Z_V = Z_V$$ - Diferencia de cotas en el punto de paso:
$$\Delta Z_{EP} = Z_P - Z_{PE}$$ - Ecuación de segundo grado para $\Delta S_P$:
$$\left(\frac{1}{2 \times \Delta Z_E}\right) \times \Delta S_P^2 - \left(\frac{200}{\theta}\right) \times \Delta S_P + \left(\frac{200}{\theta}\right) \times (S_P - S_V) = 0$$ - Parámetro del acuerdo vertical ($K_V$):
$$K_V = \frac{\Delta S_P^2}{2 \times \Delta Z_{EP}}$$ - Elementos derivados del acuerdo: Con el valor de $K_V$ obtenido, se calculan $L$, $T$, $TE$, $PH$, $PV$ y $TS$.