Càlcul d'Àrees i Sistemes Numèrics: Resolució de Problemes Matemàtics

Càlcul de la Superfície de Taula Sense Cobrir

Aquest document detalla la resolució d'un problema matemàtic per calcular l'àrea d'una taula que queda sense cobrir per uns tapets circulars, seguint les fases del mètode de Polya.

Fase 1: Comprendre el Problema

Problema llegit i comprès. S'identifiquen les següents dades i incògnites:

• Dades: Taula de dimensions 120 cm x 80 cm; 6 tapets que caldrà disposar en dues fileres, tangents (en quatre punts cadascun: els quatre dels cantons, tangents a dos costats i a dos tapets; i els del mig, al costat i a tres tapets).
• Incògnites: La superfície de la taula que queda sense cobrir.

El problema és resoluble? Per tal de saber si és resoluble, cal comprovar que la condició de tangència fa que els diàmetres que tinguin els tapets siguin una situació possible. Així, en ser el mateix valor si dividim 80 cm entre 2 (quantitat de tapets tangents a l'ample) que si dividim 120 cm entre 3 (quantitat de tapets tangents al llarg), la mesura del diàmetre que es troba en els dos casos és 40 cm; per tant, el problema és resoluble.

Fase 2: Concebre un Pla

A partir d'un dibuix al·lusiu a l'enunciat, cal adonar-se que el que s'ha de calcular és l'àrea de tota la taula i l'àrea d'un tapet, que multiplicarem per 6. Una vegada trobades aquestes quantitats, caldrà restar-les. Per calcular l'àrea de tota la taula tenim les dades, i per calcular l'àrea d'un tapet necessitem la mesura del radi, però hem vist en la fase anterior que el podem calcular.

Fase 3: Executar el Pla

• Àrea de la superfície de la taula (T): T = 120 cm x 80 cm = 9.600 cm².
• Sabem que el diàmetre (d) dels tapets és d = 40 cm; per tant, el radi (r) és r = 20 cm.
• Àrea d'un tapet (t): t = π · 20² cm² = 1.256,64 cm².
• Àrea dels 6 cercles: 6 · t = 6 · 1.256,64 cm² = 7.539,82 cm².

Així, l'àrea de la superfície demanada serà: 9.600 cm² - 7.539,82 cm² = 2.060,18 cm².

Fase 4: Examinar la Solució Obtinguda

La solució és raonable i possible, ja que és menor que la dels tapets. Si fem el dibuix o la construcció de l'enunciat del problema (una maqueta amb paper, per exemple, de dimensions iguals o proporcionals), podrem veure que la superfície demanada és una àrea calculable. Però, per saber el valor exacte, caldrà calcular-lo segons la fase anterior. També es pot comprovar la solució, per exemple, duplicant només les dimensions de la taula i repetint la resolució del problema per tal de comprovar que la solució estarà quadruplicada (estem tractant àrees). Si s'escull aquesta opció, caldrà dur-la a terme.

Sistemes de Numeració

Conversió a Base 7

Per al número 49.425 en base 10, en dividir successivament per 7, el resultat final en base 7 és 264045₇. Aquesta representació es pot visualitzar en un àbac amb les següents boletes per posició: 2, 6, 4, 0, 4 i 5.

Conversió de 31 a Base 3

A continuació, es detalla el procés per convertir el número 31 (base 10) a base 3, utilitzant un enfocament manipulatiu, verbal, representatiu i abstracte (MVRA).

Pas 1: De cubs a reglets

• Fase Manipulativa (FM): Manipulem els blocs multibase.
• Fase Verbal (FV): Comptem 1, 2, 3 cubs i els canviem per un reglet, així successivament obtenint 10 reglets i 1 cub.
• Fase Representativa (FR): 10 reglets, 1 cub.
• Fase Abstracta (FA): No hi ha.

Pas 2: De reglets a plaques

• Fase Manipulativa (FM): Manipulem els blocs multibase.
• Fase Verbal (FV): Comptem 1, 2, 3 reglets i els canviem per una placa, així successivament obtenint 3 plaques i 1 reglet. Amb el que tenim 3 plaques, 1 reglet i 1 cub.
• Fase Representativa (FR): 3 plaques, 1 reglet, 1 cub.
• Fase Abstracta (FA): No hi ha.

Pas 3: De plaques a blocs

• Fase Manipulativa (FM): Manipulem els blocs multibase.
• Fase Verbal (FV): Comptem 1, 2, 3 plaques i les canviem per un bloc, obtenint 1 bloc. Amb el que tenim 1 bloc, 0 plaques, 1 reglet i 1 cub.
• Fase Representativa (FR): 1 bloc, 0 plaques, 1 reglet, 1 cub.
• Fase Abstracta (FA): 1011₃.