Binomial y normal

DISTRIBUCION BINOMIAL Y NORMAL

Las distribuciones de probabilidad son modelos teóricos de como sería tal distribución, para la población completa. Construimos tablas de frecuencias usando datos reales observados, pero al construir distribuciones de probabilidad, usamos los posibles resultados y sus probables frecuencias.

Al igual que con las variables estadísticas, distinguiremos dos tipos, las discretas y las continuas.

Una variable es discreta, si toma sólo un número finito o contable de valores.Si por el contrario, toma infinitos valores, que no presentan huecos diremos que es continua.Las medidas tales como pesos, estaturas, tiempos, temperaturas etc. son de este segundo tipo. Empezaremos por el primer grupo de variables, que es el más sencillo.

Imaginemos, que "Purina", ha estudiado durante algún tiempo, la venta de sus tres presentaciones de alimento para perros en la  Cd de México. Estas presentaciones son independientes entre sí, y por tanto la venta de una de ellas no afecta a la venta de las demás. Ha denominado X la venta de alguna de las presentaciones, y ha encontrado, que la probabilidad de que X sea igual a 0,1,2,3, viene dada por la siguiente tabla:

 Al realizar esta operación, ha asignado probabilidad a cada uno de los valores de la variable. A la función P(X), que asigna a cada valor de X, su probabilidad la denominaremos función de probabilidad. Puesto que cada valor es una probabilidad, todos ellos habrán de estar entre o y 1. Como recordarás, la probabilidad del suceso seguro es 1, y dado que 0,1,2,3 son todos los posibles valores de X, su suma ha de ser (salvo redondeo) igual a 1.

Estas dos condiciones son necesarias y suficientes para que una asignación sea una función de probabilidad. En consecuencia: Una función P(X) es una función de probabilidad si verifica: 0≤P(X)≤1,   ∑P(X)-1                                                                          DISTRIBUCION BINOMIAL

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por:

a) Estar formada por un nº predeterminado n de experimentos iguales

b) Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto)

c) El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que denominaremos éxito y fracaso)

d) Las probabilidades de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos. (p y q respectivamente)

e) Designamos por X la variable que mide el nº de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando estemos en estas condiciones, diremos que la variable X sigue una distribución binomial de probabilidad, y la designaremos por B(n,p), donde n es el nº de pruebas de que consta el experimento y p la probabilidad de éxito.

Ejemplos:

1) Si se investiga el nº de animales enfermos en un lote  de 6, se está llevando a cabo una experiencia binomial de 6 experimentos (cada experimento es la observación de un animal), cada uno de los cuales es independiente de los restantes, con dos posibilidades (éxito="estar enfermo" fracaso="no estar enfermo.") Cuyas probabilidades (que supondremos p=0.1;  q=(1-p) = 0.9) son constantes en todos los experimentos. La variable X="nº de animales enfermos" tiene una distribución B (6, 0.1).

pqrs

ejercicios de Binomial

 Si por ejemplo queremos calcular la probabilidad de acertar al azar 6 preguntas de un  examen con 8  preguntas Falso, Verdadero, habremos de denominar éxito al acierto, y para calcular la probabilidad hemos de ir al programa. Con n=8 (nº de experimentos), P=1/5 (probabilidad de éxito),o sea 0.2 y  X=6 (nº de éxitos)

Para ello abrimos el programa pqrs, después en el recuadro ‘distribución’ buscamos ‘binomial’, una vez que tenemos eso en pantalla, colocamos los parámetros n y p correspondientes al caso que queremos solucionar, aquí n= 8 y p = 0.2 y  de damos ‘click’ al boton ‘Apply New Distribution

La siguiente imagen es la que veremos enseguida:

Cada barra representa la probabilidad de X (el evento que nos interesa, en este caso No de éxitos).  Arriba de la barra gris con 3 ventanitas, está la X que elegimos. En la ventanita de la izquierda se obtiene la probabilidad acumulada de izquierda a derecha, aquí vemos la probabilidad acumulada para (X<2) =="" 0.5033.="" la="" ventanita="" de="" en="" medio="" nos="" da="" la="" probabilidad="" de="" (x="2)" =="" 0.2936="" y="" por="" último="" la="" ventanita="" de="" la="" derecha="" nos="" da="" la="" probabilidad="" acumulada="" para="" (x=""> 2) = 0.2031.2)>

Para obtener la probabilidad que se nos pide en el ejercicio, recorremos con las flechas la ventana de arriba hasta que aparece el 6 o bien tecleamos 6 en dicha ventanita y damos ‘enter’

inmediatamente debajo del 6 aparece la probabilidad de (X=6) = 0.0011, P (6)=0,00111, es decir, que sólo en un 1 % de los casos conseguiremos acertar 6 preguntas si respondemos al azar.

La probabilidad de P(X<6)= 0.9988="" (ventanita="" izquierda)="" y ="" p(x="">6)=0.0001 (ventanita derecha).6)=>

2) Supongamos que una pasteurizadora  dispone de 3 máquinas  independientes, y que ha sido comprobado que cada una  de ellas tiene una probabilidad de fallar durante un día regular de 0.05. Si consideramos X: la variable que mide el nº de máquinas que fallen durante un día determinado, utilizando la binomial en el PQRS para n=3, p=0,05, y X=0,1,2,3, obtendremos la distribución de probabilidad correspondiente a la variable X:

De ella podemos deducir muchas probabilidades. Por ejemplo:

a) Prob. de que fallen las tres máqinas = p(3)=0,0001, que equivale al 0.1%

b) Probabilidad de haya 1 o 2 averiadas = p(1 o 2)= p(1)+p(2) = 0.1425

c) Prob. de que como máximo(cuando más) haya una máquina estropeada = p(0 o 1) = p(0) + p(1)=0,9928

d) Prob. de que al menos dos no fallen = p(0 o 1 o 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0,999 o bien un 99,9%. Podríamos también haberlo calculado como p(0 ó 1 ó 2) = 1 - p(3)=0,999.

La distribución binomial tiene una media de µ=np  Y una desviación estándar de σ= √np(1-p)

Imaginemos que un examen tipo consta de 100 preguntas todas ellas con 5 opciones de las que sólo una es correcta. Si una persona contestara al azar, estaría frente a una experiencia binomial de n=100 experimentos, con probabilidad de éxito p=1/5 (0.2) (consideramos éxito a acertar la respuesta). El nº medio de éxitos y la desviación Estándar  para alguien que conteste al azar resultará ser:

m = np = 100 ´ 1/5 = 20 respuestas correctas

 s =Ö npq = Ö 100 ´ 1/5 ´ 4/5 = 4 respuestas correctas

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Tiene una representación gráfica (denominada para variables continuas, curva de densidad) que se caracteriza por la forma de campana.  

Son de este tipo, la mayoría de los caracteres morfológicos de las poblaciones (tallas, pesos,...), sociológicos (consumo de productos, valoración de un mismo fenómeno,...), etológicos ( agresividad, grado de adaptación al medio, ..) físicos (resistencia a la rotura de un clavo de cirugía, duración del estro en vacas,.....) y en general todas aquellas características que se obtengan como suma de muchos factores.

Ante este tipo de fenómenos, existe un modelo matemático que nos permite el tratamiento de todos ellos, la curva o campana de Gauss. Veremos ahora las características más importantes de este modelo, y como usarlo para calcular probabilidades.

Diremos que una variable aleatoria tiene una distribución normal si su curva de densidad es simétrica , con forma de campana  :

Fig 1Cada distribución normal tiene dos parámetros que son los que la determinan: su media µ y su desviación estándar s. Por ello, se suele denotar por N( m,s). Es una distribucion de tipo continuo el area total debajo de la curva debe ser siempre de 1, creando una correspondencia entre area y probabilidad.

La distribución normal estándar

La llamada normal estandar N(0,1), que tiene media 0 y desviación estándar o típica (d.e.) 1 y al que denotaremos con la letra Z.

Esta es la distribución representada en la figura lateral.

Como puedes ver, si tratamos con la N(0,1), los intervalos centrados en la media y de radios iguales a una d.e., dos d.e.,.... son los intervalos (-1,1) , (-2,2), (-3,3). Podrás observar que lo deducido del teorema de Chebyshev, nos indica en porcentaje la cantidad de probabilidad que existe entre los valores representados.

PQRS

En un examen de matemáticas las notas se distribuyen según N(6 , 2.5). Si el profesor decide poner sobresaliente al 20% con mayor nota, para saber a partir de que nota ha de poner sobresaliente, ha de calcular para que valor k es p(X>k)=0,2, es decir:

Primero abrimos el programa pqrs y seleccionamos la distribución normal como verás, aparece automáticamente con los valores de la distribución normal estándar (Z), enseguida cambiamos los valores de la media y la desviación estándar, en este caso: 6 y 2.5 respectivamente:

Apretamos el botón ‘Apply new distribution’ y obtenemos

En el problema se nos pide encontrar k tal que deje del lado derecho el 20% (0.20) de las calificaciones, para ello colocamos en la ventanita derecha 0.2 (recordar que igual que en la binomial , la ventana derecha nos acumula de izquierda a derecha, el valor de k es entonces 8.1. A partir de 8.1 el profesor pondrá ‘sobresaliente’ a sus alumnos.