Problemas de contorno y transformada de laplace

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Transformada de Laplace:
L{f(t)} : integr(entre o e infinito)e-stf(t)dt
L{ 1} :1/s
L{t
n}: n!/sn+1 (s>0)
L{e
at}: 1/s-a (s>a)
L{sen(kt)} : k/(s
2+k2) (s>0)
L{cos(kt)} : s/(s
2+k2) (s>0)
L{sh(kt)} : k/(s
2-k2) (s>módulo de k), K pertenece a R
L{ch(kt)} : s/(s
2-k2) (s>módulo de k), K pertenece a R
Propiedades:
L es lineal
1er teorema de traslación: L{e
atf(t)}=F(s-a)
Función escalón unidad: U(t)=1 si t>=0,0resto
2o teorema de traslación: L{f(t-a)U(t-a)}=e
-asL{f(t)
L{t
nf(t)}=(-1)ndnF(s)/dsn
L{f
(n(t)}=snF(s)-sn-1f(0)-...-f(n-1(0)
L
-1 es lineal (inversa, no1/L...)
Producto de convolución: f # g= integral(entre 0 y t)de:
f(tau)g(t-tau)dtau
Teorema de convolución:L{f # g}=L{f} L{g}=F(s)G(s)
Transformación de una integral: L{integr entre 0yt
f(tau)dtau}=F(s)/s
Transformada de función periódica de periodo T:
L{f(t)}=(1/(1-e
-st))integral entre 0yT e-stf(t)dt

Problemas de contorno:
Teorema de la alternativa:
-(P) y (PH) tienen solución única(la trivial para PH)
-(PH) tiene infinitas soluciones dependientes de 1 ó 2 parámetros, y (P) ó no tiene, o tiene infinitas soluciones dependientes de 1 ó 2 parámetros.
Autovalores: valores de "lambda" que hacen que (P) tenga solución distinta de la trivial.
x
2+Ax+B=0=(x+A/2-((A2/4)-B)1/2(x+A/2+((A2/4)-B)1/2
Problema de Sturm-Lionville:
(P) (P(x)y
I)-q(x)y+lambda y=0
U[y]=0 separadas
Implica: Existe una cantidad numerable de autoval.
Autofunciones asociadas a autoval. distin-
tos son ortogonales
Dichas autofunc. forman base ortogonal de
L
2[(a,b)]
Para pasar a la forma autoadjunta no olvidar que al final hay que hacer el cambio y=u/R(x)
1/2
Resolución de problema de contorno: y(x)=
Cuando no dan las cond de contorno en variables separadas hacer el cambio: y=u(x)+v(x) siendo v(x) una función que satisfaga las cond de contorno.
Propiedades de la función de Green:
G(x,s)=G(s,x), G simétrica
Para s fijo,la función x en G(x,s) cumple las conds de contorno
Para s fijo,la función x en G(x,s) cumple la ecuación diferencial homogénea salvo en x=s
G(x,s) es continua en [a,b]x[a,b]
En s=x la función G(x,s)no es derivable