Verificación de Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales en Álgebra Lineal

UNIVERSIDAD DE CARABOBO - FACULTAD DE INGENIERÍA

SEGUNDO PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL SECCIÓN 86

FECHA: 27/08/2014

1. Verifique si R² (el conjunto formado por todos los pares ordenados de números reales) con las operaciones de suma usual y producto por un escalar definida como: α(x, y) = (y, x) ∀ α, forma un espacio vectorial real.
2. Sea {v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n} un subconjunto linealmente independiente en un espacio vectorial E cualquiera. Supongamos que tenemos un vector w ∈ E pero no perteneciente al subespacio L(v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n). Demuestre que el conjunto {v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n, w} es linealmente independiente.
3. Determine una base y la dimensión de cada uno de los subespacios vectoriales indicados:
   • 1 + 2 + 3 + 4 ≤ 0
   • −1 + 2 + 2 ≤ 0
   • + 2 + 3 + 4! ∈ R
   • + 2 − 2! = 0
4. Sea φ: R⁴ → R definida por:

   φ(x, y, z, w) = 3 − 2x + 4y − z − w

   Se pide: demostrar que φ es transformación lineal, hallar el núcleo y la imagen de φ y demostrar que el núcleo es un subespacio vectorial de R⁴.
5. Si A =
   

   3	0	0
   −1	0	4
   −2	−1	0

   es una matriz que define una transformación lineal φ en las bases canónicas de R⁴ y R². Determine una fórmula de φ para hallar la matriz de φ en las bases (1,1,0,1), (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,0,1,0) de R⁴ y (1,2), (3, −1) de R².

SOLUCIÓN:

1. Los 4 axiomas de la suma se verifican por ser la suma usual en R², luego veamos si se cumplen los restantes 4 axiomas:
   1. α(a + b) = αa + αb

      α(a + b) = α(a₁ + b₁, a₂ + b₂) = (a₂ + b₂, a₁ + b₁) = (a₂, a₁) + (b₂, b₁) = αa + αb

   2. (α + β)a = αa + βa

      (α + β)a = (a₂, a₁), pues (α + β) ∈ R (es un real cualquiera) y αa + βa = (a₂, a₁) + (a₂, a₁) = (2a₂, 2a₁) y (α + β)a ≠ αa + βa por lo que no se forma espacio.

2. {v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n, w} es linealmente independiente si:

   α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ + · · · + α_nv_n + α_n+1w = 0 y los α_i = 0.

   Supongamos que el conjunto es dependiente y α_n+1 ≠ 0, luego α_n+1w = -α₁v₁ - α₂v₂ - α₃v₃ - · · · - α_nv_n y 0 = -α₁v₁ - α₂v₂ - α₃v₃ - · · · - α_nv_n. Así, w se puede escribir como combinación lineal del espacio generado L(v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n) y por hipótesis eso no es posible, por lo tanto α_n+1 = 0 y la ecuación queda escrita como una combinación lineal de vectores independientes v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n igual a cero, con los α_i = 0 por definición y queda demostrado que {v₁, v₂, v₃, · · ·, v_n, w} es linealmente independiente.
3. a) Hay que escribir a + b + c + d como combinación lineal de sus generadores:

   a + b + c + d = (1,0,1,1) + (0,1,1,1) + (1,1,0,1), estos tres vectores generadores (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,0,1) son linealmente independientes, luego son base y la dimensión es tres.

4. b) Hay que hacer lo mismo aquí:

   −1 + 2 + 2 = (1,0) + (−1,1) + (0,0) + (2,0), estos tres generadores (1,0), (−1,1), (0,0) son linealmente independientes, luego son base y la dimensión es tres.

5. c) a + b + c + d = −1 + 2, entonces −1 + 2 + a + b + c + d = −1) + 2 + a + b + c + d y la base es −1, 2, y la dimensión es tres.
6. Para que φ sea transformación lineal debe cumplirse que: ∀ a, b ∈ R⁴:
   1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
   2. φ(λa) = λφ(a)
7. Como A es la matriz de φ en las bases canónicas, la fórmula de φ se obtiene por:

   φ(U) = A * U

   y la matriz de φ en las bases dadas se obtiene de:

   φ(1,1,0,1) = (1, −2) = α(1, 2) + α(3, −1)

   Los cuatro sistemas tienen la misma matriz de φ.

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SEGUNDO PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL SECCIÓN 84

FECHA: 27/08/2014

1. Verifique si el conjunto formado por todos los pares ordenados de números reales de la forma (1, a) con las operaciones de suma y producto por un escalar definida como:

   (1, a) + (1, b) = (1, a + b) y α(1, a) = (1, αa) ∀ α, forma un espacio vectorial real.

2. Sean v₁ = (1,0, −2,3) y v₀ = (4, −2, 1, 0) dos vectores del espacio vectorial R⁴ y sea S el subespacio vectorial de R⁴ que consta de todos los vectores de la forma αv₁ + αv₀ ∀ α, α ∈ R. Proporcione un argumento para demostrar que S es un subespacio vectorial de R⁴.
3. Determine una base y la dimensión de cada uno de los subespacios vectoriales indicados:
   • 1 + 2 + 3 + 4 ≤ 0
   • −1 + 2 + 2 ≤ 0
   • + 2 + 3 + 4! ∈ R
   • + 2 − 2! = 0
4. Sea φ: R⁴ → R definida por:

   φ(x + y + z + w) = (3 − 2x, 4 − y − z)

   Se pide: demostrar que φ es transformación lineal, hallar el núcleo y la imagen de φ y demostrar que el núcleo es un subespacio vectorial de R⁴.
5. Si A =
   

   3	0	0
   −1	0	4
   −2	−1	0

   es una matriz que define una transformación lineal φ en las bases canónicas de R⁴ y R². Determine una fórmula de φ para hallar la matriz de φ en las bases (1,1,0,1), (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,0,1,0) de R⁴ y (1,2), (3, −1) de R².

SOLUCIÓN:

1. i) (1, a) + (1, b) = (1, a + b) = (1, a) + (1, b) = (1, a + b)

   ii) (1, a) + (1, b) = (1, a + b) = (1, a) + (1, b)

   iii) (1, a) + (0, 0) = (1, a)

   iv) (1, a) + (−1, a) = (0, 0)

   v) α(1, a) = (1, αa)

   vi) α + β = α + β

   vii) αβ = αβ

   viii) 1 ∙ (1, a) = (1, a)

   Al comprobarse los 8 axiomas de la definición, se forma espacio.
2. Como se trata de un subconjunto de R⁴ y S = αv₁ + αv₀ es la combinación lineal de los vectores de S, S es el espacio generado por los vectores de S que siempre es un subespacio vectorial del espacio indicado, por el teorema que dice “Sea X un subconjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial E, entonces el conjunto L(X) formado por todas las combinaciones lineales de los vectores de X, es un subespacio vectorial de E y es el más pequeño subespacio de E que contiene a X”.
3. a) Hay que escribir a + b + c + d como combinación lineal de sus generadores:

   a + b + c + d = (1,0,1,1) + (0,1,0,1) + (1,1,1,0), estos tres vectores generadores (1,0,1,1), (0,1,0,1), (1,1,1,0) son linealmente independientes, luego son base y la dimensión es tres.

4. b) Hay que hacer lo mismo aquí:

   −1 + 2 + 2 = (1,0) + (−1,1) + (0,0) + (2,0), estos tres generadores (1,0), (−1,1), (0,0) son linealmente independientes, luego son base y la dimensión es tres.

5. c) a + b + c + d = −1 + 2, entonces −1 + 2 + a + b + c + d = −1) + 2 + a + b + c + d y la base es −1, 2, y la dimensión es tres.
6. Para que φ sea transformación lineal debe cumplirse que: ∀ a, b ∈ R⁴:
   1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
   2. φ(λa) = λφ(a)
7. Como A es la matriz de φ en las bases canónicas, la fórmula de φ se obtiene por:

   φ(U) = A * U

   y la matriz de φ en las bases dadas se obtiene de:

   φ(1,1,0,1) = (1, −2) = α(1, 2) + α(3, −1)

   Los cuatro sistemas tienen la misma matriz de φ.