Verdades y Mitos del Álgebra Lineal: Conceptos Clave y Propiedades

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 14 de Julio de 2025 en español con un tamaño de 5,14 KB

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Verdad o Falsedad

V. En una aplicación inyectiva, el núcleo está formado por un solo elemento (el vector cero).
F. En una aplicación suprayectiva, elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes.
V. El rango de una aplicación es la dimensión del subespacio imagen.
V. En una aplicación pueden haber elementos del dominio sin imagen.
V. La composición de una aplicación suprayectiva y una inyectiva puede generar una aplicación biyectiva.
V. Hallar una base del núcleo equivale a resolver el sistema homogéneo asociado a la matriz de la aplicación.
V. Todo endomorfismo suprayectivo es también biyectivo.
V. Las aplicaciones lineales se pueden sumar.
V. Las imágenes linealmente independientes de una base del dominio son base del subespacio imagen.
V. En una aplicación, cada elemento del dominio tiene una sola imagen.

F. Si la dimensión del espacio de llegada es igual a la del dominio, la representación matricial de la aplicación siempre es una matriz cuadrada regular.
V. Las representaciones matriciales de un vector en dos bases diferentes pueden ser iguales.
V. Una matriz normal es aquella que conmuta con su transpuesta.
F. Sean A y B dos matrices, entonces Rang(AB) = min(Rang(A), Rang(B)).
F. El rango de una matriz ortogonal nxn puede ser n-1.
F. Sea A una matriz mxn, entonces se cumple Rang(A) < min(m,n).
F. Toda matriz singular tiene traza nula.
V. Si A es hermítica, entonces iA es antihermítica.
V. El rango de una matriz singular nxn es como máximo n-1.
F. El conjunto de las matrices involutivas 2x2 es un subespacio del espacio vectorial de las matrices 2x2.
F. En el espacio vectorial de las matrices nxm, el elemento neutro del producto es la matriz identidad nxm.
F. La intersección entre el núcleo y la imagen es siempre nula.
V. Las matrices asociadas a una transformación lineal biyectiva tienen inversa y es única.
F. Las matrices asociadas a una transformación inyectiva tienen inversa por la derecha y por la izquierda.
F. Las matrices asociadas a la aplicación derivada de polinomios de 3er grado son idempotentes.

V. Los sistemas indeterminados pueden tener solución única para alguna de las variables.
F. Todos los sistemas incompatibles tienen solución múltiple.
F. Los sistemas determinados pueden tener solución múltiple.
F. Los sistemas homogéneos tienen siempre solución única.
V. En un sistema de ecuaciones Ax=b, el número de incógnitas nunca puede ser menor que Rank(A).
V. Los sistemas homogéneos pueden tener solución exacta.
F. Los sistemas compatibles pueden tener soluciones aproximadas para alguna de las variables.

F. En un espacio vectorial de dimensión 3, todo conjunto de tres vectores será una base.
F. La suma de dos subespacios de dimensión 2, genera siempre un espacio de dimensión 4.
V. En un conjunto de 5 vectores generadores de R3, seguro que hay 2 que son linealmente dependientes.
V. La representación matricial de un vector en una base es única.
V. El producto directo tiene verdaderos divisores de cero.
F. La intersección entre un subespacio y su espacio complementario es todo el espacio vectorial.
F. Si dos subespacios de dimensión n tienen una intersección de dimensión n, entonces la dimensión de la suma de los dos subespacios es 2n.
V. Siempre se puede encontrar un conjunto de vectores dentro de un generador que son base del espacio.
V. La operación intersección entre subespacios vectoriales no contempla el elemento recíproco.
V. El elemento neutro de la intersección de subespacios es todo el espacio vectorial.
V. La intersección entre el subespacio vectorial de las matrices simétricas y el subespacio vectorial de las matrices antisimétricas es cero.
V. En R3, la intersección entre dos subespacios de dimensión 2 no puede ser nunca cero.
F. La dimensión del espacio de salida y del espacio de llegada siempre es la misma.

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