Vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Vectores

Una combinación lineal de los vectores ū1, ū2, . . ., ūm es cualquier vector y obtenido de la forma y = t1 ū1+ t2 ū2 + . . .+ tm ūm siendo t1, t2, . . ., tm números reales (escalares) cualesquiera.

Los vectores ū1, ū2, . . ., ūp de Rn son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes, en caso contrario se dice que son linealmente dependientes.

El rango de una familia de vectores es el máximo número de vectores linealmente independientes que tiene.

Matrices

Se denomina matriz a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas, A =

11 12 1

21 22 2

1 2

...

m

m

n n nm

a a a

a a a

a a a

Los elementos que se encuentran en el mismo número de fila que de columna forman la diagonal.

Tipos de matrices

Matriz triangular superior (inferior) es toda matriz que tiene nulos todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal.

Matriz diagonal es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.

Matriz escalonada por filas es aquella que tiene, al principio de cada fila no nula, al menos un cero más que la anterior.

Las propiedades de estas operaciones con matrices se basan en las propiedades que verifican las operaciones con números reales.

Operaciones con matrices

Es importante señalar que:

1. El elemento neutro de la suma en el conjunto de matrices Mnxm es la matriz nula (aquella cuyos elementos son todos nulos), se denota Onxm
2. El elemento neutro del producto en el conjunto de matrices cuadradas Mn es la matriz unidad In (matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1)
3. El producto de matrices en Mn no verifica la propiedad conmutativa.

La traspuesta de una matriz es la que se obtiene al poner sus filas como columnas. Generalmente se denota At, A´ o A*.

Propiedades:

1. (At)t = A para cualquier matriz A
2. (A+B)t = At + Bt ∀A, B∈ Mnxm
3. (s· A)t = s· At ∀ s ∈ R y ∀ A ∈ Mnxm
4. (A·B)t = Bt · At ∀ A ∈ Mnxm y ∀ B∈ Mmxp.

Una matriz es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir, si A = At.

Propiedad: La matriz M·Mt es simétrica ∀ M ∈ Mnxm.

La traza de una matriz cuadrada A es igual a la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir, tr(A) =∑ aii.

Propiedades:

1. tr(At) = tr(A) para cualquier matriz A cuadrada
2. tr (A+B) = tr A + tr B ∀A, B ∈ Mn
3. tr(s· A) = s· tr(A) ∀ s ∈ R y ∀ A ∈ Mn

Operaciones elementales

Las OPERACIONES ELEMENTALES que se pueden realizar en una matriz son:

1. Cambiar entre sí dos filas (o columnas)
2. Multiplicar una fila (o columna) por un número real no nulo
3. Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de las restantes.

Si en una matriz A se realizan operaciones elementales, la matriz B que se obtiene es equivalente a A o bien “dos matrices son equivalentes si se puede pasar de una a otra realizando operaciones elementales”. Se denota A≈B.

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz B que verifica A·B = B·A = In.

Una matriz es regular o inversible si tiene inversa.

Propiedades:

1. La matriz inversa de una matriz regular es única
2. (A-1)-1 = A para cualquier matriz regular A
3. (s· A)-1 = 1/s · A-1 ∀ s ∈ R- {0} y ∀ A matriz regular
4. (A·B)-1 = B-1 · A-1 ∀ A yB matrices regulares del mismo orden

Proposición: Si en una matriz regular A se realizan operaciones elementales hasta convertirla en la matriz unidad entonces esas mismas operaciones elementales convierten a la matriz unidad en A-1.

Consecuencia: Para calcular A-1, se escribe la matriz (A/In) y se realizan operaciones elementales por filas, hasta obtener (In / A-1).

Una matriz es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, si A-1 = At, o lo que es lo mismo AAt = AtA = In.

Determinantes

Propiedades de los determinantes:

1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden. Es decir, | A | = | At |.
2. El determinante de una matriz con una fila o columna cuyos elementos son ceros es nulo.
3. El determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales o proporcionales es nulo.
4. El determinante es nulo si y solo si existe una fila o columna que es combinación lineal de las restantes.
5. Si en una matriz se intercambian entre sí dos filas o columnas el determinante cambia de signo.
6. Si en una matriz se multiplican los elementos de una fila o columna por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número real. (Se puede sacar factor común de una fila o columna)
7. Si en una matriz se suma a una fila o columna una combinación lineal de las restantes filas o columnas, el determinante de la matriz no varía.
8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es el producto de los determinantes de dichas matrices. Es decir, |A · B| = |A| · |B| ∀ A, B ∈ Mn
9. Una matriz A es regular si y solo si su determinante no es nulo.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es cualquier conjunto de igualdades que se puedan escribir de la forma AX=B donde A∈ Mmxn es la matriz de los coeficientes, X ∈ Mnx1 es la matriz de las incógnitas y B∈M mx1 es la matriz de los términos independientes.

Clasificación según sus soluciones

Sistema compatible es el que tiene solución. Si la solución es única es determinado y si no es única es indeterminado.

Sistema incompatible es el que no tiene solución.

Teorema de Rouché-Frobenius: Dado un sistema AX=B con n incógnitas, se tiene:

1. rgA = rg(A/B) = r ⇒ sistema compatible. Además:
   • r = n ⇒ el sistema es compatible y determinado
   • r < n ⇒ el sistema es compatible e indeterminado
2. rgA ≠ rg(A/B) ⇒ el sistema es incompatible.

Grados de libertad de un sistema compatible indeterminado AX=B es n - rgA, además coincide con el número de incógnitas no dependientes.

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Proposición: Dado un sistema se puede obtener otro equivalente si:

1. Se multiplica una ecuación por un número real no nulo
2. Se suma a una ecuación una combinación lineal de las restantes.
3. Se intercambian de lugar dos ecuaciones.

Método de resolución de Gauss

Para resolver el sistema AX=B, se realizan operaciones elementales por filas en la matriz ampliada (A/B) hasta escalonarla por filas, con lo que se obtiene la matriz ampliada de un sistema escalonado equivalente al inicial que es muy sencillo de resolver.

Un sistema AX = B se dice que es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y |A| ≠ 0.

Discusión

Regla de Cramer: Permite calcular el valor de cada una de las n incógnitas de AX = B (sistema de Cramer) de la siguiente forma:

X1 = |A1| / |A|, X2 = |A2| / |A|, ..., Xn = |An| / |A|

Un sistema es homogéneo si tienen nulos los términos independientes, es decir, son los sistemas de la forma, AX = 0nx1.

Discusión: rgA = rg(A/0nx1) ⇒ sistema compatible.

Será determinado si además el rango de A coincide con el número de incógnitas.

La solución nula o trivial de un sistema homogéneo es aquella en la que todas las incógnitas son iguales a 0.