Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Modelos Estadísticos

Variables Aleatorias y Medidas Estadísticas

Variables Discretas

(Representación Gráfica: Diagrama de Bastones)

Conceptos Fundamentales

Función de Cuantía (p(x))

• p(x) = P(X=x)

Propiedades:

• p(x) ≥ 0
• ∑ p(x_i) = 1

Función de Distribución Acumulada (F(a))

• F(a) = P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)

Cálculo de Probabilidades

• P(X ≤ a) = ∑ p(x_i)
• P(a ≤ X ≤ b) = ∑ p(x_i)

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Esperanza Matemática (E(X) o μ)

• E(X) = μ = ∑ x_i · p(x_i)

Varianza (V(X))

• V(X) = ∑ (x_i - μ)² p(x_i)

Fórmula de Cálculo Alternativa: V(X) = E(X²) - E(X)²

• Para Variable Discreta: E(X²) = ∑ x_i² · p(x_i)
• Para Variable Continua: E(X²) = ∫ x² · f(x) dx

Coeficiente de Variación (CV(X))

• CV(X) = DS(X) / E(X)

Nota: Un valor más bajo del CV indica menor variabilidad relativa.

Coeficiente de Asimetría de Pearson

Rango Intercuartílico (RI)

• RI = Q3 - Q1

Variables Continuas

(Representación Gráfica: Función Escalonada)

Conceptos Fundamentales

Función de Densidad de Probabilidad (f(x))

• P(X=x) = 0

Propiedades:

• f(x) ≥ 0
• ∫ f(x) dx = 1

Función de Distribución Acumulada (F(a))

• F(a) = P(X ≤ a) = ∫ f(x) dx

Cálculo de Probabilidades

• P(X ≤ a) = ∫ f(x) dx
• P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x) dx

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Esperanza Matemática (E(X) o μ)

• E(X) = μ = ∫ x · f(x) dx

Varianza (V(X))

• V(X) = ∫ (x - μ)² f(x) dx = E(X - μ)²

Cuartiles

• a) Usando la Función de Densidad: P(X ≤ Q1) = 0.25
  • ∫ f(x) dx = 0.25
  • Nota: Igualar a 0 y aplicar la fórmula cuadrática (Bhaskara) si es necesario.
• b) Usando la Función de Distribución: F(Q) = 0.25
  • Procedimiento: Sustituir Q en F(x) y despejar Q.

Desigualdad de Tchebycheff (Chebyshev)

Cota Mínima

• Pr{μ - d ≤ X ≤ μ + d} ≥ 1 - σ²/d²
• Pr{|X - μ| ≤ d} ≥ 1 - σ²/d²
• Pr{|X - μ| ≤ kσ} ≥ 1 - 1/k²

Cota Máxima

• Pr{|X - μ| > d} ≤ σ²/d²
• Pr{|X - μ| > kσ} ≤ 1/k²

Tabla Resumen para Variables Discretas

Modelos de Distribución de Probabilidad

Variables Discretas

Modelo Bipuntual (Bernoulli)

(Con reposición)

Descripción: Representa el número de éxitos (Y) en una única prueba (n=1).

Éxitos (p) y Fracasos (1-p)

Función de Cuantía

Función de Distribución Acumulada

Parámetros

• E(Y) = p
• V(Y) = p(1-p)

Modelo Binomial

(Con reposición)

Descripción: Cantidad de éxitos (X) en una muestra de 'n' pruebas independientes con reemplazo.

Función de Probabilidad (Cuantía)

Función de Distribución Acumulada

Parámetros

• E(X) = n · p
• V(X) = n · p(1-p)

Modelo Hipergeométrico

(Sin reposición)

Descripción: Número de éxitos (X) en 'n' pruebas sin reemplazo, extraídas de una población finita.

Función de Cuantía

Rango: max(0, n - (N - K)) ≤ x ≤ min(n, K)

Función de Distribución Acumulada

Parámetros

• E(X) = n · (K/N)

Modelo de Poisson

Descripción: Número de sucesos o éxitos (X) por unidad de tiempo (UT) en un intervalo de longitud fija.

Función de Cuantía

Función de Distribución Acumulada

Parámetros

• E(X) = V(X) = λ

Poisson como Límite del Binomial

• λ = n · p

Variables Continuas

Modelo Exponencial

Descripción: Tiempo entre la ocurrencia de dos eventos consecutivos en un proceso de Poisson.

Función de Densidad

Función de Distribución Acumulada

Parámetros

• E(X) = 1/λ
• V(X) = 1/λ²
• DS(X) = E(X)
• CV(X) = 1

Cálculo de Probabilidades Específicas

• Cuando P(X > t) =
• Cuando P(X -λt

Modelo Normal

Función de Densidad de Probabilidad

Función de Distribución Acumulada

• F(X) = P(X

Estandarización (Variable Z)

• Z = (X - μ) / σ
• X = μ + Z · σ

Función de Densidad (Normal Estándar)

Función de Distribución (Normal Estándar)

• F(u) = P(Z

Intervalos Simétricos

• Probabilidad DENTRO del intervalo: 2 · F(Z1) - 1
• Probabilidad FUERA del intervalo: 2 · {1 - F(Z1)}

Parámetros

• Para X: E(X) = μ ; V(X) = σ²
• Para Z: E(Z) = 0 ; V(Z) = 1

Ejemplos de Probabilidad (Valores Críticos)

• P(Z ≤ 0.4) = 0.90
• P(Z ≥ -0.4) = 0.90
• P(Z ≤ -0.4) = 0.10