Valores cartas poker para imprimir

1.- Para encontrar la distribución de probabilidad de X, el número de premios que obtienen los organizadores, primero necesitamos determinar cuántas formas hay de otorgar los tres premios a los cuatro organizadores.

Podemos usar la fórmula de combinación para calcular esto:

C(4,3) = 4! / (3! * 1!) = 4

Esto significa que hay 4 formas diferentes en que los tres premios pueden ser otorgados a los cuatro organizadores.

Ahora podemos construir una tabla para encontrar la distribución de probabilidad de X:

Para calcular el número de formas de obtener cada cantidad de premios, podemos usar la fórmula de combinación. Por ejemplo, para encontrar el número de formas en que dos organizadores pueden ganar un premio y los otros dos no, podemos calcular:

C(4,2) * C(2,2) = 6 * 1 = 6

Esto significa que hay 6 formas diferentes en que dos organizadores pueden ganar un premio y los otros dos no.

La probabilidad de que un organizador gane un premio es 3/50, ya que hay tres premios disponibles y 50 boletos vendidos. Por lo tanto, la probabilidad de que un organizador no gane un premio es 47/50.

Usando estas probabilidades y el número de formas de obtener cada cantidad de premios, podemos completar la tabla de distribución de probabilidad.

Entonces, la distribución de probabilidad para X es:

2.- Para calcular la media, debemos multiplicar cada posible valor de Y por su probabilidad correspondiente y sumarlos:

Media = E(Y) = 0(1/8) + 1(1/4) + 2(3/8) + 3(1/4) = 1.75

La varianza se calcula como la suma de las diferencias al cuadrado entre cada valor de Y y la media, multiplicado por su probabilidad correspondiente:

Varianza = E((Y - E(Y))^2) = (0 - 1.75)^2(1/8) + (1 - 1.75)^2(1/4) + (2 - 1.75)^2(3/8) + (3 - 1.75)^2(1/4) = 0.6875

Finalmente, la desviación estándar se calcula como la raíz cuadrada de la varianza:

Desviación estándar = sqrt(Varianza) = sqrt(0.6875) = 0.8292 aproximadamente.

Por lo tanto, la media de Y es 1.75, la varianza es 0.6875 y la desviación estándar es 0.8292.

3.-  a) La variable aleatoria Y es discreta, ya que solo puede tomar valores enteros: 0, 1 o 2 mujeres en la selección.

b) Sí, la variable aleatoria Y tiene una distribución binomial, ya que cumple con los siguientes criterios para que una variable aleatoria tenga una distribución binomial:

El experimento consiste en una secuencia de n pruebas idénticas e independientes.

Cada prueba tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso.

La probabilidad de éxito, p, es constante en todas las pruebas.

La variable aleatoria de interés es el número de éxitos en n pruebas.

En este caso, el experimento consiste en seleccionar dos personas al azar de un grupo de seis, lo que se puede considerar como dos pruebas idénticas e independientes con dos resultados posibles: una persona es seleccionada o no es seleccionada. La probabilidad de que una mujer sea seleccionada es de 3/6 = 1/2, y esta probabilidad es constante en ambas pruebas.

Por lo tanto, la variable aleatoria Y, que es el número de mujeres seleccionadas en dos pruebas, tiene una distribución binomial.

C) Para encontrar la distribución de probabilidad para Y, se puede usar la fórmula de la distribución binomial:

P(Y = y) = (n choose y) * p^y * (1-p)^(n-y)

Donde "n choose y" representa el número de formas de elegir y elementos de un conjunto de n elementos, y se calcula como n!/(y!(n-y)!). En este caso, n = 2, p = 1/2, y los posibles valores de y son 0, 1 y 2. Entonces, la distribución de probabilidad para Y es:

P(Y = 0) = (2 choose 0) * (1/2)^0 * (1/2)^(2-0) = 1/4

P(Y = 1) = (2 choose 1) * (1/2)^1 * (1/2)^(2-1) = 1/2

P(Y = 2) = (2 choose 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(2-2) = 1/4

4.-Primero, determinemos la probabilidad de sacar cada tipo de carta:

La probabilidad de sacar una "J" o una "Q" es de 8/52, ya que hay 4 "J" y 4 "Q" en una baraja de 52 cartas.

La probabilidad de sacar un "K" o un "A" es de 8/52, ya que hay 4 "K" y 4 "A" en una baraja de 52 cartas.

La probabilidad de sacar cualquier otra carta es de 36/52, ya que hay 52 cartas en total y hemos considerado las 8 cartas mencionadas anteriormente.

Ahora podemos calcular la ganancia esperada:

Ganancia esperada = (probabilidad de sacar una "J" o una "Q") x (pago por sacar una "J" o una "Q") + (probabilidad de sacar un "K" o un "A") x (pago por sacar un "K" o un "A") + (probabilidad de sacar cualquier otra carta) x (pago por sacar cualquier otra carta)

Ganancia esperada = (8/52) x $15 + (8/52) x $5 + (36/52) x $4

Ganancia esperada = $1.15 + $0.77 + $2.77

Ganancia esperada = $4.69

Por lo tanto, la ganancia esperada en este juego es de $4.69. Esto significa que, en promedio, una persona ganaría $4.69 por cada juego que juegue.

5.- Sí, este experimento cumple con las carácterísticas de un experimento binomial, ya que:

Hay un número fijo de ensayos (2 terminales solicitados)

Cada ensayo tiene dos resultados posibles (terminal defectuoso o no defectuoso)

La probabilidad de éxito (obtener un terminal no defectuoso) es constante en todos los ensayos (3/5, ya que hay 3 terminales no defectuosos de un total de 5)

Los parámetros de un experimento binomial son:

n: número de ensayos (en este caso, n=2)

p: probabilidad de éxito en cada ensayo (en este caso, p=3/5)

q: probabilidad de fracaso en cada ensayo (en este caso, q=2/5)

Para calcular la probabilidad de obtener exactamente k terminales no defectuosos en el pedido, podemos usar la fórmula de la distribución binomial:

P(X=k) = (n choose k) * p^k * q^(n-k)

Donde "n choose k" es el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos.

Para k=0: P(X=0) = (2 choose 0) * (3/5)^0 * (2/5)^2 = 4/25 = 0.16

Es decir, la probabilidad de que ambos terminales sean defectuosos es del 16%.

Para k=1: P(X=1) = (2 choose 1) * (3/5)^1 * (2/5)^1 = 12/25 = 0.48

Es decir, la probabilidad de que uno de los terminales sea defectuoso es del 48%.

Para k=2: P(X=2) = (2 choose 2) * (3/5)^2 * (2/5)^0 = 9/25 = 0.36

Es decir, la probabilidad de que ambos terminales sean no defectuosos es del 36%.

6.-  a) Sí, la V.A. "Y" tiene una Distribución Binomial, donde:

n = 128 (número de preguntas)

p = 1/4 (probabilidad de acertar una pregunta al adivinar entre 4 opciones)

q = 1 - p = 3/4 (probabilidad de fallar una pregunta al adivinar entre 4 opciones)

B) La media y varianza de Y se pueden calcular utilizando las fórmulas de la Distribución Binomial:

Media (μ) = n * p = 128 * 1/4 = 32

Varianza (σ^2) = n * p * q = 128 * 1/4 * 3/4 = 24

7.-  Para calcular la probabilidad de que al menos uno de los cinco fusibles sea defectuoso, podemos calcular primero la probabilidad de que ninguno de los fusibles sea defectuoso y luego restar este valor de 1.

La probabilidad de que un fusible sea defectuoso es del 5%, lo que significa que la probabilidad de que un fusible no sea defectuoso es del 95%. Entonces, la probabilidad de que los cinco fusibles de la muestra no sean defectuosos es:

P(ninguno defectuoso) = 0.95^5 = 0.77378

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de los cinco fusibles sea defectuoso es:

P(al menos uno defectuoso) = 1 - P(ninguno defectuoso) = 1 - 0.77378 = 0.22622

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de los cinco fusibles sea defectuoso es del 22.6%.

8.- Este es un problema de probabilidad binomial en el que la probabilidad de obtener una cara (o ágüila) es igual a la probabilidad de obtener una cruz (o sol) y es igual a 0,5. La fórmula para calcular la probabilidad de obtener al menos k éxitos en n ensayos es:

P(X ≥ k) = 1 - P(X < k) = 1 - sumatoria(i=0 hasta k-1)(nCi * p^i * (1-p)^(n-i))

Donde P(X ≥ k) es la probabilidad de obtener al menos k éxitos en n ensayos, P(X < k) es la probabilidad de obtener menos de k éxitos en n ensayos, n es el número de ensayos (en este caso, 100), p es la probabilidad de éxito en un ensayo (en este caso, 0,5) y nCi es el número de combinaciones de n elementos tomados i a la vez.

Aplicando esta fórmula al problema, tenemos:

P(X ≥ 70) = 1 - P(X < 70) = 1 - sumatoria(i=0 hasta 69)(100Ci * 0,5^i * (1-0,5)^(100-i)) ≈ 0,000197

Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos 70 águilas en 100 lanzamientos de una moneda balanceada es de aproximadamente 0,000197, es decir, alrededor del 0,0197%.

9.- Para resolver este problema, primero debemos identificar que estamos ante una distribución binomial, ya que se trata de un experimento con dos posibles resultados (creer o no creer en las investigaciones periodísticas de Loret de Mola) y una muestra de tamaño pequeño (tres personas).

Entonces, podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular la probabilidad de que exactamente y personas prefieran a Aristegui:

P(Y = y) = (n choose y) * p^y * (1-p)^(n-y)

Donde: n es el tamaño de la muestra (en este caso, n = 3) y es el número de personas que prefieren a Aristegui

p es la probabilidad de preferir a Aristegui, que es el complemento de la probabilidad de no creer en las investigaciones periodísticas de Loret de Mola. Por lo tanto, p = 1 - 0.65 = 0.35

a) Para encontrar la distribución de probabilidad de Y, debemos calcular la probabilidad de que 0, 1, 2 y 3 personas prefieran a Aristegui:

P(Y = 0) = (3 choose 0) * 0.35^0 * 0.65^3 = 0.2746

P(Y = 1) = (3 choose 1) * 0.35^1 * 0.65^2 = 0.441

P(Y = 2) = (3 choose 2) * 0.35^2 * 0.65^1 = 0.2642

P(Y = 3) = (3 choose 3) * 0.35^3 * 0.65^0 = 0.019

Por lo tanto, la distribución de probabilidad para Y es:

b) La probabilidad de que exactamente tres personas prefieran a Aristegui es P(Y = 3) = 0.019, es decir, aproximadamente 1.9%.

C) La media de Y es: E(Y) = n * p = 3 * 0.35 = 1.05

La desviación estándar de Y es:

SD(Y) = sqrt(n * p * (1-p)) = sqrt(3 * 0.35 * 0.65) = 0.8987

10.-  Para resolver este problema, primero necesitamos determinar la distribución de probabilidad condicional del tiempo de ciclo dado que excede los 55 minutos. Dado que se sabe que el tiempo de ciclo es mayor que 55 minutos, podemos considerar un nuevo intervalo de tiempo de 55 a 70 minutos.

Entonces, la distribución de probabilidad condicional del tiempo de ciclo dado que excede los 55 minutos es una distribución uniforme en el intervalo de 55 a 70 minutos. La probabilidad de que el tiempo de ciclo exceda los 65 minutos dada esta distribución se puede calcular como la proporción del área debajo de la curva de densidad de probabilidad desde 65 a 70, dividido por el área total debajo de la curva desde 55 a 70.

El área total debajo de la curva es (70-55) / (70-50) = 15/20 = 0.75, ya que la distribución uniforme tiene una densidad de probabilidad constante de 1 / (70-50) = 1/20 en todo el intervalo.

El área debajo de la curva de densidad de probabilidad desde 65 a 70 es (70-65) / (70-55) = 5/15 = 1/3.

Por lo tanto, la probabilidad de que el tiempo de ciclo exceda de 65 minutos dado que excede de 55 minutos es:

(1/3) / (0.75) = 0.4444 o aproximadamente 44.44%.

11.-  Para obtener estas probabilidades utilizando la tabla de la distribución normal estándar, debemos buscar los valores Z correspondientes y luego calcular la diferencia entre ellos.

P(0 ≤ Z ≤ 1.7)

Buscando en la tabla, encontramos que P(Z ≤ 1.70) = 0.9554 y P(Z ≤ 0) = 0.5000. Por lo tanto, P(0 ≤ Z ≤ 1.7) = P(Z ≤ 1.7) - P(Z ≤ 0) = 0.9554 - 0.5000 = 0.4554.

P(-0.85 ≤ Z ≤ 0)

Buscando en la tabla, encontramos que P(Z ≤ 0) = 0.5000 y P(Z ≤ -0.85) = 0.1977. Por lo tanto, P(-0.85 ≤ Z ≤ 0) = P(Z ≤ 0) - P(Z ≤ -0.85) = 0.5000 - 0.1977 = 0.3023.

P(0.75 ≤ Z ≤ 1.26)

Buscando en la tabla, encontramos que P(Z ≤ 1.26) = 0.8962 y P(Z ≤ 0.75) = 0.7734. Por lo tanto, P(0.75 ≤ Z ≤ 1.26) = P(Z ≤ 1.26) - P(Z ≤ 0.75) = 0.8962 - 0.7734 = 0.1228.

P(-0.7 ≤ Z ≤ 0.7)

Buscando en la tabla, encontramos que P(Z ≤ 0.7) = 0.7580 y P(Z ≤ -0.7) = 0.2420. Por lo tanto, P(-0.7 ≤ Z ≤ 0.7) = P(Z ≤ 0.7) - P(Z ≤ -0.7) = 0.7580 - 0.2420 = 0.5160.

Por lo tanto, las probabilidades solicitadas son:

P(0 ≤ Z ≤ 1.7) = 0.4554

P(-0.85 ≤ Z ≤ 0) = 0.3023

P(0.75 ≤ Z ≤ 1.26) = 0.1228

P(-0.7 ≤ Z ≤ 0.7) = 0.5160

12.- a) Para encontrar el valor de z_0 tal que P(Z > z_0) = 0.0030, podemos utilizar una tabla de distribución normal estándar o una calculadora que tenga esta función. La probabilidad dada se refiere al área a la derecha del valor z_0 en la distribución normal estándar.

Buscando en una tabla de distribución normal estándar, podemos encontrar el valor z_0 correspondiente al área de cola derecha de 0.0030, que es aproximadamente 2.75. Por lo tanto, z_0 ≈ 2.75.

b) Para encontrar el valor de z_0 tal que P(Z < z_0) = 0.9418, podemos utilizar una tabla de distribución normal estándar o una calculadora que tenga esta función. La probabilidad dada se refiere al área a la izquierda del valor z_0 en la distribución normal estándar.

Buscando en una tabla de distribución normal estándar, podemos encontrar el valor z_0 correspondiente al área de cola izquierda de 0.9418, que es aproximadamente -1.80. Por lo tanto, z_0 ≈ -1.80.

c) Para encontrar el valor de z_0 tal que P(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0.8638, podemos utilizar una tabla de distribución normal estándar o una calculadora que tenga esta función. La probabilidad dada se refiere al área entre dos valores de la distribución normal estándar.

Primero, podemos encontrar el área de cola izquierda correspondiente a la probabilidad restante de 1 - 0.8638 = 0.1362. Luego, podemos buscar este valor en la tabla de distribución normal estándar para encontrar el valor z correspondiente, que es aproximadamente 1.08.

Por lo tanto, podemos resolver para z_0 utilizando la ecuación:

P(-z_0 ≤ Z ≤ z_0) = 0.8638

P(Z ≤ z_0) - P(Z ≤ -z_0) = 0.8638

0.5 + P(Z ≤ z_0) - (0.5 - P(Z ≤ z_0)) = 0.8638

2P(Z ≤ z_0) = 0.8638 + 0.5 - 0.5

P(Z ≤ z_0) = 0.6824

Ahora, podemos buscar en la tabla de distribución normal estándar el valor correspondiente al área de cola izquierda de 0.6824, que es aproximadamente 0.55. Por lo tanto, z_0 ≈ 0.55.

13.-  Podemos resolver este problema usando la distribución normal estándar y la estandarización de variables

Primero, estandarizamos las calificaciones de 80 y 90 utilizando la fórmula de estandarización: z = (x - μ) / σ

Para x = 80: z1 = (80 - 75) / 10 = 0.5

Para x = 90: z2 = (90 - 75) / 10 = 1.5

Luego, podemos usar una tabla de distribución normal estándar para encontrar las probabilidades correspondientes a cada valor de z. La probabilidad de que una variable estandarizada caiga entre z1 y z2 es la diferencia entre las probabilidades asociadas a z2 y z1.

Usando una tabla de distribución normal estándar o una calculadora estadística, encontramos que la probabilidad de que una variable estandarizada sea menor que 0.5 es de 0.6915 y la probabilidad de que una variable estandarizada sea menor que 1.5 es de 0.9332. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable estandarizada caiga entre 0.5 y 1.5 es de:

P(0.5 < z < 1.5) = P(z < 1.5) - P(z < 0.5) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417

Para encontrar la fracción correspondiente a esta probabilidad, podemos recordar que la distribución normal estándar es simétrica alrededor de cero y que la probabilidad de que una variable estandarizada sea mayor que 3 es muy pequeña (menor al 0.3%), entonces asumimos que la fracción correspondiente es aproximadamente la mitad de la probabilidad calculada:

Fracción de calificaciones entre 80 y 90 = 0.2417/2 = 0.1209 o aproximadamente 12.09%.

Por lo tanto, podemos concluir que alrededor del 12.09% de las calificaciones se encuentran entre 80 y 90.

14.-  a) Podemos utilizar la distribución normal estándar para resolver este problema. Primero, estandarizamos los valores de ancho utilizando la fórmula z = (x - μ) / σ, donde x es el valor de ancho, μ es la media y σ es la desviación estándar.

Para un ancho de 947 mm, z = (947 - 950) / 10 = -0.3

Para un ancho de 958 mm, z = (958 - 950) / 10 = 0.8

Luego, buscamos las probabilidades correspondientes utilizando una tabla de distribución normal estándar o una calculadora estadística:

P(z < -0.3) = 0.3821

P(z < 0.8) = 0.7881

La probabilidad de que un rollo seleccionado al azar tenga un ancho de entre 947 y 958 mm es la diferencia entre estas dos probabilidades:

P(947 ≤ x ≤ 958) = P(z < 0.8) - P(z < -0.3) = 0.7881 - 0.3821 = 0.4060

Por lo tanto, la probabilidad es de aproximadamente 0.4060.

b) Queremos encontrar el valor de ancho C tal que P(x < C) = 0.8531. De manera equivalente, podemos buscar el valor z correspondiente utilizando la fórmula z = (C - μ) / σ. Luego, podemos buscar en una tabla de distribución normal estándar o utilizar una calculadora estadística para encontrar el valor de z que corresponde a una probabilidad acumulada de 0.8531.

En este caso, la probabilidad acumulada de 0.8531 corresponde a un valor de z de aproximadamente 1.05. Entonces, podemos despejar C de la fórmula z = (C - μ) / σ:

1.05 = (C - 950) / 10

Multiplicando ambos lados por 10 y resolviendo para C, obtenemos:

C = 10(1.05) + 950 = 960.5

Por lo tanto, el valor apropiado para C es de aproximadamente 960.5 mm.

15.-  La desviación estándar es de 0.0010 pulgadas, por lo que la mitad del ancho de la distribución normal que representa el límite inferior del intervalo de especificación (3.000 - 0.0020 = 2.9980) está a una distancia de (3.0005 - 2.9980) / 0.0010 = 2.5 desviaciones estándar de la media. De manera similar, la mitad del ancho del intervalo superior de especificación (3.000 + 0.0020 = 3.0020) está a 2.5 desviaciones estándar de la media en el otro extremo.

Podemos usar 1a tabla d distribución normal estándar o 1a calculadora d distribución normal xa encontrar la probabilidad d q 1 valor aleatorio d 1a distribución normal este a 2.5 desviaciones estándar o + d la media. La probabilidad d q 1 cojinete tenga 1 diámetro menor q 2.9980 o mayor q 3.0020 s la suma d estas 2 probabilidades.

Usando 1a calculadora d distribución normal, encontramos q la probabilidad d q 1 valor aleatorio este a 2.5 desviaciones estándar o + d la media s d aproximadamente 0.0062 en cada cola (s decir, la probabilidad d estar x debajo d 2.9980 o x encima d 3.0020 s d 0.0062 + 0.0062 = 0.0124). X lo tanto, la fracción d cojinetes q s desexaran s d aproximadamente 0.0124 o 1.24% d la producción total.