Valoración de Activos con el Modelo del Árbol Binomial: Un Enfoque Detallado

El Modelo del Árbol Binomial y la Valoración de Activos

El modelo del árbol binomial se basa en las siguientes hipótesis:

• Hipótesis de ausencia de arbitraje: Fundamental para la consistencia del modelo.
• Movimientos de precio: Desde cada estado en un periodo, el precio puede moverse a uno de dos estados siguientes (arriba – abajo).
• Distribución de probabilidad: En cada periodo, el modelo de probabilidad es Bernoulli (arriba: p, y abajo: 1-p).
• Independencia entre periodos: Los movimientos de precio en diferentes periodos son independientes.
• Distribución binomial: Como resultado, el modelo de probabilidades en j=1,2,3… es Binomial.

Teorema de Representación Binomial

El Teorema de representación Binomial se basa principalmente en considerar un conjunto de probabilidades {qj} caracterizadas por el hecho de que cualquier derivado del mercado, con dos activos, puede expresarse como la esperanza matemática descontada de esas probabilidades qj. Para poder establecer en qué consiste realmente este teorema, es necesario comprender los elementos que lo componen:

1. El proceso del precio del activo subyacente:

   Como una variable aleatoria que depende del tiempo j con j+1 realizaciones al final del periodo j: s0j, …, sjj.

2. Las medidas de probabilidad sobre el árbol:

   Por una parte, tenemos la medida de probabilidad natural (P) que describe la verosimilitud de un salto hacia arriba o hacia abajo, y la medida de probabilidad neutral al riesgo por adoptar la hipótesis de no arbitraje (Arrow-Debreu) como (Q). A su vez, esta medida es función del precio del subyacente pero no de la probabilidad natural; por tanto, los saltos del precio del subyacente afectan al valor de los derivados, no a sus probabilidades.

3. La filtración:

   Partimos de {Fj}, la historia del desarrollo del proceso hasta el momento j. La filtración en el momento inicial 0 tiene el valor F0={1}; en el momento 1, la filtración puede ser igual a F1={1,2} si el primer salto es hacia abajo, o {1,3} hacia arriba, etc. Por tanto, hay una correspondencia exclusiva entre los nudos del árbol y los valores de la filtración.

4. Una liquidación o valor final:

   Como función de los precios de la última etapa T, es decir, la exigencia del inversionista como variable en los nudos en el momento T.

5. Esperanza condicional respecto a una medida de probabilidad:

   Se puede emplear como notación tanto Eq(.|Fj) o Ep(.|Fj). Esto implica la esperanza de la variable “S” por ejemplo, a lo largo de la parte del árbol que tiene como su intervalo inicial Fj de la filtración F, es decir, se condiciona de j en adelante la variable aleatoria esperanza a su historia previa Fj.

   Propiedades:

   • Si la variable aleatoria no depende del valor de la filtración Fj o historia, entonces E(.|Fj)=E(S) siendo para este ejemplo, “S” la variable aleatoria.
   • En el caso en que la variable es determinada completamente en el momento j, E(S|Fj)=S.

Martingala

El proceso se llama martingala con respecto a la medida Q y la filtración Fj, si la esperanza condicional de Sj junto a la historia reconocida hasta el tiempo i

Procesos Previsibles Respecto a una Filtración

Un proceso g={gj:j=1,2,…,T} sobre el árbol si su valor para la etapa j es conocido al principio de dicha etapa, es decir, en el tiempo j-1 (Su valor j depende solo de Fj-1).

Representación Martingala

Se considera una medida de probabilidad Q sobre un árbol binomial, así como un proceso S={Sj:j=0,1,2…, T} y además, S es una Q martingala. Si N es la otra martingala con esta medida, entonces se da el proceso predecible tal que (4), donde (5) es el incremento del proceso S en el periodo k=1,2,…T.

Estrategia Autofinanciable

Se considera 1 árbol binomial con 1 subyacente S y un Bono B, entonces se da una estrategia autofinanciable si los procesos son previsibles y el incremento en el valor de la cartera definida por la estrategia (pi) satisface la ecuación.

Valoración Martingala

j=1,2..T el valor del activo con liquidación X en T es () siendo Q la medida de probabilidad riesgo neutral sobre árbol binomial y es única por ser árbol un modelo de mercado completo.