Triangle de Sierpinski i Conjunt de Cantor: Fractals, IFS i Punts Fixos
Matemáticas5,25 KB
Triangle de Sierpinski
Construcció del Triangle de Sierpinski (S): sigui T0 ⊂ ℝ2 un triangle equilàter tancat i ple de costat L.
Pas n = 1: divideix T0 en 4 triangles equilàters congruents connectant els punts mitjans dels costats, i n'elimina l'interior del triangle central. S'obté T1, format per 3 triangles de costat L/2.
Pas n ≥ 1: s'aplica el mateix procés recursiu sobre cadascun dels 3n triangles de Tn.
El Triangle de Sierpinski és el conjunt límit definit per S = ⋂n=0∞ Tn.
Sistema de funcions iterades (IFS)
Siguin v1, v2, v3 ∈ ℝ2 els tres vèrtexs del triangle inicial T0. Definim les 3 afinitats fi: ℝ2 → ℝ2 de factor d'escala r = 1/2:
fi(x) = 1/2 x + 1/2 vi, i ∈ {1, 2, 3}
Aquest conjunt d'aplicacions {f1, f2, f3} constitueix un IFS de contraccions. Pel Teorema de Hutchinson, existeix un únic conjunt compacte no buit S ⊂ ℝ2 invariant sota l'acció del sistema:
S = f1(S) ∪ f2(S) ∪ f3(S)
Dimensió d'autosemblança
Com que el conjunt S està format per N = 3 còpies autosemblants reduïdes amb r = 1/2 (s = 1/r = 2), la seva dimensió d'autosemblança és:
Dd = log N / log(1/r) = log 3 / log 2
El Conjunt Ternari de Cantor
Construcció: sigui l'interval tancat C0 = [0, 1]. Al pas n = 1 s'elimina l'interval obert central de longitud 1/3, de manera que C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].
De manera inductiva, si Cn és la unió de 2n intervals tancats de longitud (1/3)n, aleshores Cn+1 s'obté extraient el terç central obert de cadascun d'ells:
Cn+1 = (1/3)Cn ∪ (2/3 + (1/3)Cn), i C = ⋂n=0∞ Cn
C té mesura de Lebesgue zero
La mesura de Lebesgue de l'interval inicial és μ(C0) = 1. A cada pas n, el nombre d'intervals extrets és 2n−1, de longitud (1/3)n. La mesura total del conjunt extret E = ⋃n=1∞(Cn−1 \ Cn) és:
μ(E) = Σn=1∞ 2n−1(1/3)n = (1/3) Σk=0∞ (2/3)k = (1/3) · 1/(1 − 2/3) = 1
Com que C = [0, 1] \ E, per l'additivitat de la mesura:
μ(C) = μ([0, 1]) − μ(E) = 1 − 1 = 0
Punts fixos: atractors i repel·lents
Definicions
Sigui f : I ⊂ ℝ → ℝ derivable i x0 ∈ I un punt fix (f(x0) = x0).
- Atractor: x0 és atractor si existeix un entorn U = (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I tal que per a tot x ∈ U, la successió d'iterats fⁿ(x) convergeix a x0 quan n → ∞.
- Repel·lent: x0 és repel·lent si existeix un entorn U tal que per a tot x ∈ U \ {x0}, existeix un enter N ≥ 1 tal que fN(x) ∉ U.
Exemple de punt fix ni atractor ni repel·lent: f(x) = x − x² amb el punt fix x0 = 0.
Teorema (criteri de la derivada)
Sigui f : I → I una funció derivable i x0 ∈ I un punt fix. Si |f′(x0)| < 1, aleshores x0 és un punt fix atractor.
Demostració: com |f′(x0)| < 1, escollim κ tal que |f′(x0)| < κ < 1. Per la continuïtat de f′ en x0, existeix un entorn tancat U = [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ I amb ε > 0 tal que |f′(y)| ≤ κ per a tot y ∈ U.
Prenem un punt qualsevol x ∈ U. Pel Teorema del Valor Mitjà, existeix ξ entre x0 i x (i per tant ξ ∈ U) tal que:
|f(x) − x0| = |f(x) − f(x0)| = |f′(ξ)||x − x0| ≤ κ|x − x0|
Com κ < 1, es té |f(x) − x0| ≤ κε < ε, és a dir, f(U) ⊂ U (U és invariant). Per inducció, per a tot n ≥ 1: |fⁿ(x) − x0| ≤ κⁿ|x − x0|.
Com 0 ≤ κ < 1, limn→∞ κⁿ = 0. Per tant, limn→∞ |fⁿ(x) − x0| = 0, és a dir, limn→∞ fⁿ(x) = x0.
Estabilitat de punts fixos a ℝn
Sigui f : U ⊂ ℝn → ℝn de classe C1 amb un punt fix x0 ∈ U. Sigui Jf(x0) la matriu jacobiana de f en x0 i ρ(Jf(x0)) = max{|λi| : λi ∈ σ(Jf(x0))} el seu radi espectral.
- Si ρ(Jf(x0)) < 1, aleshores x0 és un punt fix atractor.
- Si almenys un valor propi té |λi| > 1, aleshores x0 és inestable.
Varietat (in)estable
Ws(u)(x0) = { x ∈ U : limk→∞ fk(−k)(x) = x0 }