Transformación de Energía en Fluidos: De Navier-Stokes a Bernoulli

Obtención de Energía a partir de Navier-Stokes

La ecuación de Navier-Stokes estudia el movimiento de los fluidos teniendo en cuenta las fuerzas que lo originan. La relación vectorial para un líquido incompresible establece los fundamentos del comportamiento dinámico.

Si la intensidad del campo exterior de fuerzas se deriva del potencial φ_f, se tiene, además: F = -∇φ_f. Sustituyendo la expresión de la aceleración en función del rotacional, queda una estructura que permite identificar los componentes energéticos.

El trinomio del primer miembro equivale a la energía mecánica total por unidad de masa fluida (E_m). Si el movimiento tiene lugar en el campo gravitatorio, φ_f = φ_g = gz. Por tanto, referida a la energía por unidad de peso, se escribe de la siguiente forma:

Altura de Carga Total

La energía H tiene la dimensión de una longitud y se denomina altura de carga total. Representa la altura que resulta al tomar sobre la posición de la partícula fluida una longitud equivalente a la de presión (p/γ) y añadir otra longitud igual a la altura de velocidad (u²/2g).

Extensión del Teorema de Bernoulli

A cada punto de un filamento fluido incompresible le corresponde una presión, una elevación sobre un plano de referencia y una velocidad, definiendo los tres sumandos de la ecuación de Bernoulli.

El gasto dQ a través de cada elemento dw de una sección transversal recta, para un fluido perfecto incompresible en régimen permanente, es dQ = u · dw. La energía por cada unidad de peso que atraviesa el elemento dw viene dada por la suma de sus componentes de presión, posición y velocidad.

Potencia de la Corriente Líquida

El peso que atraviesa a dw por unidad de tiempo permite definir la energía correspondiente. Esta expresión representa la potencia del filamento líquido en el elemento dw. Al integrar para toda la sección w, obtenemos la potencia de la corriente en la sección:

P = ∫ (p/γ + z + u²/2g) u dw

La potencia P también se puede expresar según el gasto de la corriente y de su energía media por unidad de peso. Considérense dos secciones transversales finitas w₁ y w₂, para las cuales se tiene que cumplir la igualdad de sus componentes energéticos. Multiplicando ambas expresiones, se concluye que dP₁ = dP₂, lo que implica que la potencia del conjunto de la corriente líquida se mantiene constante.

Igualando y despejando H, se obtiene que la carga total en las diferentes secciones transversales, a lo largo de una corriente líquida en régimen permanente, es constante.

Demostración del Teorema de Bernoulli

La energía mecánica total por unidad de peso se conserva a lo largo de un filamento de corriente de un fluido incompresible, en movimiento permanente y rotacional. En el caso de un líquido incompresible, tenemos que: ∇²ū = -2 rot.

Aplicación de las Ecuaciones de Movimiento

Si la intensidad del campo exterior de fuerzas se deriva del potencial φ_f, se tiene: F = -∇φ_f. Aplicamos estas relaciones a la ecuación de Navier-Stokes. Sustituyendo la expresión de la aceleración en función del rotacional, el trinomio del primer miembro equivale a la energía mecánica total por unidad de masa fluida (E_m).

Si el movimiento tiene lugar en el campo gravitatorio (φ_f = φ_g = gz), la energía correspondiente a la unidad de masa situada a una cota z nos lleva a la expresión final. Referida a la energía por unidad de peso, H se llama altura de carga total y representa la altura equivalente a la suma de la altura de presión y la altura de velocidad.