Topografía: Métodos Planimétricos Esenciales para el Cálculo de Coordenadas y Levantamientos

Métodos Planimétricos en Topografía

1. Métodos Planimétricos Topográficos

Los métodos planimétricos topográficos se utilizan en topografía para determinar la posición horizontal de puntos (coordenadas X e Y), sin considerar la altimetría (coordenada Z). Existen diferentes métodos, cuya elección depende de la exactitud requerida, las condiciones del terreno y el equipo disponible.

Principales Métodos Planimétricos:

• Método de Radiación: Se emplea cuando existe un punto de referencia fijo (estación) desde donde se miden distancias y ángulos a otros puntos. Es ideal para levantamientos en zonas pequeñas y accesibles.
• Método de Intersección: Consiste en ubicar un punto desconocido midiendo ángulos desde dos puntos conocidos. Puede ser intersección directa (cuando se miden ángulos desde los puntos conocidos) o intersección inversa (cuando se conocen los ángulos formados en el punto desconocido). Es útil en terrenos inaccesibles o donde no se pueden medir distancias fácilmente.
• Método de Poligonación: Se utilizan polígonos cerrados (cuando el levantamiento regresa al punto inicial) o abiertos (cuando no regresa al punto de origen). Se miden ángulos y distancias entre los vértices del polígono. Generalmente se emplea en levantamientos topográficos de mayor extensión.
• Método de Triangulación: Se basa en la medición de ángulos en una serie de triángulos interconectados. Se necesita conocer al menos un lado base para calcular las demás longitudes. Se usa en levantamientos de grandes extensiones.

2. Método de Radiación

El método de radiación consiste en medir ángulos y distancias desde una base topográfica (estación) a los puntos de los cuales se desean obtener coordenadas planimétricas. Para ello, se estaciona el instrumento en un punto base topográfica (BT) y desde este se visan direcciones, anotando los siguientes datos: Lecturas acimutales (Lh) y distancias reducidas (Dr). El acimut es el ángulo que forma una alineación con el Norte Geográfico (N).

Fórmulas de Cálculo:

Si se conoce un punto de estacionamiento BT (X_BT, Y_BT), el punto radiado P (X_P, Y_P) se determina usando las siguientes fórmulas:

X_P = X_BT + Dr * Sen (θ)
Y_P = Y_BT + Dr * Cos (θ)

Método de Bessel:

El método de Bessel se utiliza para mejorar la precisión de los datos de radiación. Se basa en la observación de puntos mediante dobles lecturas con “vuelta de campana”. Se realizan lecturas en Círculo Directo (CD) y Círculo Inverso (CI), las cuales deben ser promediadas posteriormente.

El método de Bessel anula los errores sistemáticos del equipo, mejorando la exactitud de las mediciones. Es importante destacar que:

• Los errores de dirección y verticalidad no se ven modificados.
• Afecta a los errores de puntería y lectura.

Método de Vuelta de Horizonte:

Este método se basa en visar acimutalmente a varios puntos distribuidos en torno al punto estación, promediando valores angulares en la posición de Círculo Directo (CD) e Inverso (CI), en caso de que se pretenda aplicar el Método de Bessel. Los pasos son los siguientes:

1. Estacionar en un punto y tomar la lectura acimutal a una referencia (LHref), sin que sea necesario orientar con una lectura determinada.
2. En posición CD, realizar la lectura horizontal a todos los puntos necesarios, así como las distancias reducidas, que estarán distribuidos en torno a la estación, hasta terminar en el punto inicial comprobando que la lectura no ha variado (LHref CD).
3. En la posición CI, dando vuelta de campana al anteojo y girando 200g la alidada, se repite la misma vuelta de horizonte, partiendo de la referencia, y en sentido contrario al de la primera vuelta, cerrando de nuevo en la referencia (LHref CI).

El máximo del error de cierre de la vuelta de horizonte no deberá ser mayor a la función del error angular del aparato y el número de visuales realizadas.

Donde:

• T: es la tolerancia establecida.
• ea: el error angular acimutal.
• n: el número de visuales observadas.

Error del Método de Radiación

El concepto de incertidumbre va asociado a los errores accidentales de las medidas angulares y de distancias.

• El rango de la incertidumbre de la medida angular es el denominado error transversal (eT).
• El rango de la incertidumbre debido a la distancia reducida medida es el denominado error longitudinal (eL).

La exactitud final planimétrica del punto radiado es la componente cuadrática de la precisión o incertidumbre del polo de radiación (BT), y la incertidumbre introducida en la determinación del punto P respecto al BT.

Error Transversal

El error transversal (eT) se genera por el ángulo medido y es proporcional a la distancia medida.

En el error angular (ea) intervienen el error de dirección (ed), el error de puntería (ep), el error de lectura (el) y el error de verticalidad (ev). Estos errores son conocidos por las características del equipo, excepto el error de dirección (eD), en el que también intervienen la distancia, el error de estación (ee) y el error de señal (es).

Error Longitudinal

El error longitudinal (eL) es generado por la distancia medida. El eL es la componente cuadrática del error estándar (ev), el error de estación (ee), el error de señal (es) y el error por inclinación del jalón (ej). El error estándar (ev) consta de un valor constante (a) y una parte proporcional a la distancia medida (mm por Km o ppm):

3. Método de Intersección

El método de intersección permite determinar las coordenadas planimétricas de vértices o bases topográficas mediante observaciones angulares. Generalmente, cuando se planifica una intersección en campo, esta debe ser múltiple para obtener redundancia de datos de observación y verificar los resultados.

Principales Aplicaciones:

• Control de estructuras y deformaciones.
• Densificación de Redes Topográficas.
• Definir puntos con gran precisión para implantar Bases de Replanteo (BR).
• Comprobar el ajuste o bondad de Redes Topográficas.
• Trabajos preliminares de enlace de sistemas de coordenadas.
• Dar coordenadas a puntos inaccesibles (X, Y, Z).

Tipos de Intersecciones Topográficas:

• Intersección Directa: Se estaciona en puntos de coordenadas conocidas y se visa a puntos de coordenadas desconocidas.
• Intersección Inversa: Se estaciona en puntos de coordenadas desconocidas y se visa a puntos de coordenadas conocidas.
• Intersección Mixta: Se estaciona y se visa indistintamente a puntos de coordenadas conocidas y desconocidas.

Intersección Directa

En el método de intersección directa, si el estacionamiento se realiza en puntos de coordenadas conocidas (como A y B) y las observaciones a V (un punto de coordenadas desconocidas) son las siguientes:

Por el teorema de los senos se obtienen las distancias: D_A-V y D_B-V (actualmente, estas distancias también se pueden medir de forma directa).

• A, B, C: son los ángulos internos del triángulo formado por A, B, V.
• a, b, v: son las longitudes de los lados.

A partir de esto, se pueden calcular 'a' y 'b':

Suponiendo que se tienen las coordenadas de A (X_A, Y_A) y la dirección del punto V desde A es el acimut de A-V, las coordenadas son:

Si la diferencia de coordenadas del punto V es menor que el error máximo permitido, estas pueden ser promediadas.