Topografía en Francés: Métodos de Planimetría, Altimetría y Reducción de Distancias

Métodos de topografía: planimetría, altimetría y reducción de distancias

Hansen: Se aplica cuando solo son visibles dos vértices de coordenadas conocidas, desde puntos de observación (dos estaciones incógnita). Este método no tiene comprobación de resultados, ya que no hay puntos fijos.

Planimetría: Existen dos métodos analíticos para resolver:

1. Aplicación homotética (distancia ficticia): la figura geométrica medida en campo es semejante a otra figura teórica que tiene relación de escala. Consiste en dar a la base desconocida entre las dos estaciones (MN) una magnitud arbitraria (ej. 1). Aplicando el teorema de los senos con los ángulos observados, se calculan las distancias ficticias del resto de la figura. Finalmente, se calcula la distancia ficticia entre los dos vértices fijos (AC) y se compara con la distancia real, obteniendo de ese modo el factor de escala. Al multiplicar todas las distancias ficticias por ese factor, se obtienen las dimensiones reales para calcular las coordenadas.
2. Métodos de Cotes: consiste en determinar los ángulos interiores desconocidos (Â, Ĉ), calculando un escalar H y un sumatorio K̂, que permiten calcular el ángulo Â, mediante la relación: tan  = sen K̂ / (H + cos K̂), y el ángulo Ĉ = K̂ − Â. Con esto la figura queda orientada, y el problema se resuelve calculando las distancias y resolviendo las coordenadas como intersección directa simple.

Altimetría:

1. Hay que tener coordenadas planimétricas resueltas para poder reducir distancias. En Hansen existen visuales recíprocas entre puntos MN que tienen cotas desconocidas. Para aprovechar las visuales cruzadas hay que resolver por mínimos cuadrados (MMCC). Se plantea un sistema matricial con 6 ecuaciones de observación de desnivel y 2 incógnitas (altitud HM y HN). Las ecuaciones deben estar ponderadas, asignando una desviación típica a priori² a cada desnivel.

Solución altimétrica IIS: Estación en punto desconocido (P), se visan tres vértices conocidos (A, B, C). Para hallar Hp, tenemos que calcular distancias, partiendo de coordenadas planimétricas resueltas de P, y se deducen analíticamente las distancias horizontales a los tres puntos (D_PA, D_PB, D_PC). Luego, se calcula el desnivel desde P hacia cada vértice, usando las distancias halladas, el ángulo cenital (V), la altura del instrumento (i) y del prisma (m), y la corrección por esfericidad y refracción (Cer):

ΔH_PA = (D_PA / tan V_PA) + i_P + m_A + Cer

Finalmente, se obtienen cotas provisionales de P (H_vP = H_A − ΔH). Tras verificar que son tolerables comparando con la desviación típica, el resultado final se obtiene haciendo una media ponderada, usando pesos inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias u observaciones altimétricas.

Desviación típica a priori (IDS)

En este método, la precisión depende de la desviación típica a priori de las medidas angulares (σα).

1. Las incertidumbres angulares generan un desplazamiento lateral de la visual, formando un polígono de error (paralelogramo), donde se dibuja la elipse de error plana.
2. Se determinan los semidiámetros conjugados (b, c) de la elipse, que dependen de la distancia a los vértices (D_AV, D_BV) y del ángulo de intersección (α): b = (D_AV · σα²) / sen α y c = (D_BV · σα²) / sen α.
3. Para el error máximo, se calcula el semieje mayor (a), que coincide con el radio de la circunferencia envolvente. Abatiendo 100 g, uno de los semidiámetros se aplica a la construcción de la elipse por afinidad. Analíticamente se resuelve: d = √(b² + c² − 2bc·cos A), y la medida media, a = md + ½d.
4. La desviación típica total del punto será la composición de a con los errores propios que ya arrastran las estaciones de partida: σ_ENV = √(σ_ENA² + … + B² · a²).

Desviación típica a priori en radiación

En una radiación, las coordenadas de un punto visado se calculan midiendo una distancia (D) y un acimut (θ) desde una estación conocida. La incertidumbre planimétrica del punto radiado será por:

1. Error en la medida de la distancia (σD): aporta una incertidumbre en la dirección longitudinal de la visual.
2. Error en la medida angular (σθ): aporta una incertidumbre transversal que se cuantifica como el desplazamiento lateral.

Aplicando la ley de propagación de varianzas a las ecuaciones de coordenadas (E = E_A + D·sen θ y N = N_A + D·cos θ), las incertidumbres en cada eje se obtienen componiendo el efecto de ambas variables. Finalmente, para obtener la desviación típica planimétrica a priori (σ_EN), se suman las varianzas de ambas componentes y se añade el error propio que pudiera tener la base de estación (σ_ENA), obteniendo la elipse de error del punto radiado.

Reducción de distancias: método de dos pasos

Para transformar la distancia geométrica medida en campo (D_g) a una proyección cartográfica conforme con el método de dos pasos, hay que llevar a cabo:

1. Reducción a la superficie de nivel de la estación: en primer lugar se corrige D_g calculando la D_reducida a la altitud de la estación inicial (D_rA), eliminando el efecto del desnivel y la refracción.
2. Reducción a la cuerda del elipsoide: mediante proporcionalidad geométrica, se proyecta D_rA sobre el elipsoide de referencia (nivel del mar), y se aplica la fórmula D_rE = (D_rA · R) / (R + h_A), donde R es el radio de la Tierra y h_A la altitud de la estación.
3. Reducción a la proyección: una vez hallada la distancia en el elipsoide (D_rE), se multiplica por el coeficiente de anamorfosis lineal propio de la proyección (k_UTM) para obtener la distancia plana final: D_UTM = k_UTM · D_rE.