Tipus de Funcions Matemàtiques: Guia Completa i Característiques

Tipus de Funcions Matemàtiques: Guia Completa

Funció Real de Variable Real

Una funció real, f, de variable real és una relació que associa a cada nombre real, x, un únic nombre real, y = f(x). Es pot expressar d'aquesta manera: f: R → R, on x ↦ y = f(x). La variable x s'anomena variable independent i la variable y és la variable dependent.

Domini i Recorregut d'una Funció

Donada una funció f: R → R tal que y = f(x):

• El domini de la funció és el conjunt dels valors per als quals la funció està definida. Es representa amb Dom f.
• El recorregut de la funció és el conjunt de valors que agafa la funció. Es representa amb Im f.

Funcions Polinòmiques

Funcions Polinòmiques de Primer Grau (Funcions Afins)

S'anomenen funcions afins i són del tipus f(x) = mx + n. La seva gràfica és una recta amb pendent m que passa pel punt (0, n). El nombre n s'anomena ordenada en l'origen.

Característiques de les Funcions Afins

• Si m = 0, la funció f(x) = n s'anomena funció constant, i la seva gràfica és una recta paral·lela a l'eix X que passa pel punt (0, n).
• Si n = 0, la funció f(x) = mx s'anomena funció lineal, i la seva gràfica és una recta amb pendent m que passa per l'origen de coordenades.
• Si m ≠ 0 i n ≠ 0, la seva gràfica és una recta creixent si m > 0 o decreixent si m < 0, que talla l'eix Y en el punt (0, n).

Funcions Polinòmiques de Segon Grau (Funcions Quadràtiques)

S'anomenen funcions quadràtiques i són del tipus f(x) = ax² + bx + c, amb a ≠ 0. La seva gràfica és una paràbola.

Característiques de les Funcions Quadràtiques

• El domini d'una funció quadràtica és R.
• El vèrtex de la paràbola és V(-b/(2a), f(-b/(2a))).
• Si a > 0, el vèrtex és un mínim. Si a < 0, el vèrtex és un màxim.
• Com més gran sigui |a|, més tancades són les branques de la paràbola.

Funcions Racionals

Són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus f(x) = P(x) / Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

És una funció racional del tipus f(x) = K/x amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Característiques de la Proporcionalitat Inversa

• El domini de la funció de proporcionalitat inversa és R - {0}, ja que no està definida en x = 0. Es diu que en x = 0 hi ha una asímptota vertical.
• A mesura que els valors de x creixen o decreixen, la funció s'acosta a y = 0. Es diu que en y = 0 hi ha una asímptota horitzontal.
• La gràfica d'aquesta funció no talla els eixos de coordenades.
• És una funció imparella, simètrica respecte de l'origen de coordenades.
• Si K > 0, la funció és decreixent i la gràfica és en els quadrants 1r i 3r.
• Si K < 0, la funció és creixent i la gràfica és en els quadrants 2n i 4t.

Funcions Exponencials

Les més senzilles són del tipus f(x) = a^x, en què a és un nombre real positiu, més gran que 0 i diferent d'1.

Característiques de la Funció Exponencial

• El domini d'una funció exponencial és R.
• El seu recorregut és (0, +∞).
• Com que a⁰ = 1, la funció passa sempre pel punt (0, 1).
• Com que a¹ = a, la funció passa sempre pel punt (1, a).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.

Altres Tipus de Funcions

Funcions Definides a Trossos

És una funció que té diferents expressions algebraiques segons l'interval on es trobi la variable independent x.

Funció Composta

Donades dues funcions f i g, s'anomena funció composta de f amb g, la funció (g o f) que compleix que: (g o f)(x) = g(f(x)).