Tipos de Funcións Matemáticas e Concepto de Límite

Un caso particular son as funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, cuxa gráfica son hipérbolas equiláteras.

Funcións Irracionais

y = f(x) = n√g(x)

• Dominio:
  • Dom(f) = R no caso de que n sexa impar.
  • Dom(f) = R - {x / g(x) < 0} no caso de que n sexa par.

Función Exponencial

y = f(x) = ax, onde a é positivo e distinto de 1.

• Dominio: Dom(f) = R
• Imaxe: Im(f) = R⁺
• Se a > 1, a función crece a medida que aumenta x.
• Se a < 1, a función decrece a medida que aumenta x.

Función Logarítmica

y = f(x) = loga x, onde a é positivo e a ≠ 1.

• Dominio: Dom(f) = (0, +∞) (o logaritmo dos números negativos e do 0 non son números reais).
• Imaxe: Im(f) = R
• Se a > 1, é crecente.
• Se a < 1, é decrecente.
• Corta o eixe OX no punto (1,0).
• A función logarítmica de base a é a inversa da exponencial de base a.

Funcións Trigonométricas

• Función seno: y = f(x) = sen x
• Función coseno: y = f(x) = cos x
• Función tanxente: y = f(x) = tg x

O dominio das funcións seno e coseno é R.

O dominio da función tanxente é R - {π/2 ± kπ, k ∈ Z}.

Idea do Concepto de Límite

O concepto de límite dunha función nun punto é un dos máis importantes en matemáticas. Serve para responder á pregunta: A que valor se aproxima a variable dependente cando a variable independente se aproxima a un certo valor 'a'?

Exemplo: Para y = f(x) = 2x + 1, a variable x aproxímase a 3.

• Cando nos aproximamos a 3 pola esquerda, a función toma valores próximos a 7, e o límite lateral pola esquerda da función f no punto 3 é 7.
• Cando nos aproximamos a 3 pola dereita, a función toma valores próximos a 7, e o límite lateral pola dereita da función f no punto 3 é 7.
• Cando nos aproximamos a 3, a función toma valores próximos a 7, é dicir, o límite da función no punto x = 3 é 7.

A expresión lim f(x) = b (cando x tende a 'a'), que se le "o límite de f(x) cando x tende a 'a' é 'b'", quere dicir que se x toma valores próximos ao número a, entón os correspondentes valores de f(x) se aproximan ao número b.

Para que exista o límite nun punto, teñen que existir os límites laterais e ser iguais. O límite dunha función nun punto, se existe, é único.

Para que o límite dunha función en x = a sexa b, non fai falta saber o que ocorre exactamente no punto x = a, senón o que ocorre ao seu arredor. Unha función pode non estar definida no punto x = a e si ter límite nese punto.

Límites Infinitos e Límites no Infinito

O límite dunha función no punto x = a é +∞, lim f(x) = +∞ (cando x tende a 'a'). Isto significa que cando os valores da variable independente se achegan ao valor x = a, os correspondentes valores de f(x) fanse cada vez máis grandes.

De forma análoga defínese lim f(x) = -∞ (cando x tende a 'a'). Isto ocorre cando os valores da variable independente se achegan ao valor x = a, e entón os valores correspondentes de f(x) fanse cada vez máis grandes en valor absoluto, pero negativos.

O límite da función f(x) cando x tende a +∞ é b, lim f(x) = b (x tende a +∞). Isto significa que cando os valores da variable independente x se están facendo cada vez maiores, entón os correspondentes valores de f(x) achéganse ao valor b.