Teorías y conceptos clave de probabilidad, muestreo e independencia de eventos

Teorías sobre la asignación de la probabilidad

A continuación se describen las principales aproximaciones para asignar probabilidades a sucesos:

1. Clásica

Casos equiprobables (dados, cartas). No se puede emplear si el número de resultados posibles no es finito. Asigna a cada suceso un número entre 0 y 1 que cuantifica la certeza o seguridad en la ocurrencia de dicho suceso. Cuanto más cercano a 0, menos posibilidades; cuanto mayor, más posibilidades o verosimilitud tiene.

2. Frecuentista

Repeticiones (experimentos reales). La probabilidad de un suceso A es la proporción de veces (frecuencia relativa) con la que ocurre A cuando el experimento se realiza un número muy grande o infinito de veces en condiciones idénticas.

3. Subjetiva

Creencia (decisiones). La probabilidad de un suceso es el grado de creencia que un evaluador o evaluadora tiene sobre su ocurrencia.

4. Axiomática

Base matemática (teoría formal). La probabilidad de un suceso se define mediante axiomas (Kolmogórov) y proporciona una base lógica y racional para asignar medidas de probabilidad. En un sentido interpretativo, también puede verse como el grado de creencia que, dada la evidencia empírica existente, es lógico o razonable mantener sobre la posibilidad de ocurrencia de un suceso.

(correlación de Yates)

Observación

La probabilidad de un suceso es el grado de creencia que, dada la evidencia empírica existente, es lógico/racional o razonable mantener sobre su posibilidad de ocurrencia. (correlación de Yates)

Ejercicios sobre independencia de sucesos

Ejercicio 1

Sean A y B dos acontecimientos tales que P(A) = 0,3 y P(A ∩ B^c) = 0,08. ¿Para qué valor de P(B) son A y B independientes?

Desarrollo:

• Sabemos que: P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B^c).
• Por tanto: 0,3 = P(A ∩ B) + 0,08 ⇒ P(A ∩ B) = 0,22.
• Independencia exige: P(A ∩ B) = P(A) P(B) ⇒ 0,22 = 0,3 · P(B).
• Despejando: P(B) = 0,22 / 0,3 = 11/15 ≈ 0,733333...

Resultado: P(B) = 11/15 ≈ 0,7333.

Ejercicio 2

Sean A y B dos acontecimientos tales que P(A) = 0,3, P(A ∪ B) = 0,8 y P(B) = p. ¿Para qué valor de p son A y B independientes?

Desarrollo:

• Usando la fórmula de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Despejando P(A ∩ B): P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,3 + p − 0,8 = p − 0,5.
• Independencia exige: P(A ∩ B) = P(A) P(B) ⇒ p − 0,5 = 0,3 p.
• Despejando: p − 0,3 p = 0,5 ⇒ 0,7 p = 0,5 ⇒ p = 0,5 / 0,7 = 5/7 ≈ 0,7142857.

Resultado: p = 5/7 ≈ 0,7143.

Muestra aleatoria simple

Muestra aleatoria simple es un vector aleatorio n-dimensional (X1, X2, …, Xn) formado por variables Xi igualmente distribuidas que X(·; θ) e independientes entre sí (i.i.d.). Al ser variables aleatorias, tienen una distribución de probabilidad que se denomina distribución de probabilidad de la muestra o función de verosimilitud de la muestra. Esta distribución indica la probabilidad de que la variable aleatoria muestra tome cada realización muestral o, en otras palabras, la probabilidad de seleccionar cada realización muestral o "muestra".

Al ser i.i.d., la distribución conjunta será el producto de cada una de ellas:

• Función de distribución: F(x1, x2, …, xn; θ) = F(x1; θ) F(x2; θ) … F(xn; θ).
• Función de densidad: f(x1, x2, …, xn; θ) = f(x1; θ) f(x2; θ) … f(xn; θ).
• Función de probabilidad (variables discretas): p(x1, x2, …, xn; θ) = p(x1; θ) p(x2; θ) … p(xn; θ).

Conceptos adicionales: muestreo y estimación

Muestra

"Muestra": subconjunto de la población. Su tamaño es el tamaño de la muestra o tamaño muestral. Es la herramienta que contiene la información que debe permitir inferir las características de la población de la que procede.

Técnicas o métodos de muestreo

• Muestreos probabilísticos (o aleatorios): interviene el azar en la selección de la muestra.
• Muestreos no probabilísticos (no aleatorios): no interviene el azar en la selección de la muestra.

Estimadores y estimación

Estimadores: estadísticos que gozan de buenas propiedades en el contexto de trabajo (consistencia, insesgadez, eficiencia, etc.).

Estimación: valor obtenido al sustituir los datos (realización muestral) en el estimador; es la aproximación numérica del parámetro desconocido.