Teoremes Fonamentals i Guia de Representació Gràfica de Funcions

Teoremes Fonamentals del Càlcul

Teorema de Rolle

Donada una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b). Si f(a) = f(b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Lagrange (Teorema del Valor Mitjà)

Si tenim una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) que verifica: [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c).

Teorema de Cauchy

Donades dues funcions f(x) i g(x) contínues en l'interval tancat [a,b] i derivables en l'interval obert (a,b). Si f'(x) i g'(x) no s'anul·len simultàniament en un mateix punt de (a,b), g'(x) no s'anul·la en aquest interval i g(b) ≠ g(a), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) que verifica: [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(c) / g'(c).

Continuïtat d'una Funció

Una funció f(x) és contínua en un punt x = a si es compleixen tres condicions: existeix f(a), existeixen els límits laterals (per l'esquerra i per la dreta) i són iguals, i el valor de la funció en el punt és igual al límit: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = f(a).

Guia per a la Representació Gràfica de Funcions

1. Domini

   Determinar el conjunt de valors de x per als quals la funció està definida.

2. Simetries

   Analitzar si la funció és parella (f(-x) = f(x), simètrica respecte a l'eix Y) o imparella (f(-x) = -f(x), simètrica respecte a l'origen).

3. Talls amb els Eixos

   • Eix OX (abscisses): Resoldre f(x) = 0 per trobar els punts de tall amb l'eix X.
   • Eix OY (ordenades): Calcular y = f(0) per trobar el punt de tall amb l'eix Y.

4. Periodicitat

   Comprovar si la funció es repeteix en intervals regulars (f(x+T) = f(x) per a algun període T).

5. Asímptotes

   Asímptotes Verticals (AV)

   S'obtenen quan el denominador de la funció s'anul·la i els límits laterals tendeixen a infinit (lim_x→a f(x) = ±∞).

   Asímptotes Horitzontals (AH)

   Existeixen si lim_x→±∞ f(x) = b (un valor finit b). L'equació de l'asímptota és y = b.

   Asímptotes Obliqües (AO)

   Si no hi ha asímptotes horitzontals, pot haver-hi obliqües. L'equació és y = mx + n, on:

   • m = lim_x→±∞ f(x)/x
   • n = lim_x→±∞ (f(x) - mx)

6. Creixement i Decreixement

   Estudiar el signe de la primera derivada f'(x):

   • Creixement: f'(x) > 0
   • Decreixement: f'(x) < 0

   Màxims i Mínims Relatius

   S'obtenen quan f'(x) = 0 i s'analitza el signe de la segona derivada f''(x):

   • Màxims: f'(a) = 0 i f''(a) < 0
   • Mínims: f'(a) = 0 i f''(a) > 0

7. Convexitat, Concavitat i Punts d'Inflexió

   Estudiar el signe de la segona derivada f''(x):

   • Convexitat: f''(x) > 0 (curvatura cap amunt)
   • Concavitat: f''(x) < 0 (curvatura cap avall)

   Els Punts d'Inflexió es produeixen quan hi ha un canvi en la curvatura (f''(x) = 0 o f''(x) no existeix, i canvia de signe).

8. Determinació de les Regions

   Amb tota la informació anterior, es delimiten les regions on la funció existeix i es comporta de determinada manera.

9. Representació Gràfica

   Dibuixar la funció utilitzant tots els punts i característiques trobades.