Teoremes clau de càlcul: Taylor, Lagrange, Cauchy i Rolle

Teorema del residu de Taylor (forma de Lagrange)

Enunciat: Sigui I un entorn del punt a, i sigui f : I → R una funció (n+1)-vegades derivable a I. Sigui P = P_{n,f,a} el polinomi de Taylor d'ordre n al voltant de a. Sigui x pertanyent a I. Aleshores existeix λ entre a i x tal que

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(λ)/(n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹.

Demostració

Suposem, sense pèrdua de generalitat, que a < x. Per cada t pertanyent a [a,x] podem escriure la fórmula de Taylor centrada en t:

f(x) = f(t) + f'(t)(x-t) + ··· + f

(n)(t)/n!·(x-t)ⁿ + R_{n,f,t}(x) = P_{n,f,t}(x) + R_{n,f,t}(x).

Fixem x i definim S(t) = f(x) - P_{n,f,t}(x) = R_{n,f,t}(x). Per construcció S(x) = 0 i S(a) = R_{n,f,a}(x). Com que f és (n+1)-vegades derivable, S és derivable i

S'(t) = -d/dt P_{n,f,t}(x) = - f

(n+1)(t)/n!·(x-t)ⁿ.

Aplicant el Teorema del Valor Mig de Lagrange a S obtenim, per algun ξ pertanyent a (a,x),

-(R_{n,f,a}(x))/(x-a) = S'(ξ ) = - f

(n+1)(ξ)/n!·(x-ξ )ⁿ,

d'on es deriva la fórmula del residu de Cauchy.

Per obtenir la fórmula de Lagrange, apliquem el teorema del valor mig generalitzat a S i a g(t) = (x-t)ⁿ⁺¹. Tenint en compte que

R_{n,f,a}(x)/(x-a)ⁿ⁺¹ = (S(x)-S(a))/(g(x)-g(a)) = S'(η)/g'(η)

i substituint les derivades s'obté

R_{n,f,a}(x)/(x-a)ⁿ⁺¹ = f

(n+1)(η)/(n+1)!)

per algun η pertanyent a (a,x), que és la forma de Lagrange del residu.

Teorema del valor mig de Cauchy

Enunciat: Siguin f, g : [a,b] → R contínues a [a,b] i derivables a (a,b). Aleshores existeix c en (a,b) tal que

f'(c) (g(b)-g(a)) = g'(c) (f(b)-f(a)).

Demostració

Només cal aplicar Rolle a la funció

h(x) = f(x) (g(b)-g(a)) - g(x) (f(b)-f(a)).

La funció h és derivable perquè f i g ho són, i compleix h(a) = h(b) = 0, per tant existeix c amb h'(c) = 0, que és precisament la igualtat del teorema.

Teorema de Rolle

Enunciat: Suposem que f : [a,b] → R és contínua a [a,b] i derivable a (a,b). Si f(a) = f(b), llavors existeix un punt c en (a,b) tal que f'(c) = 0.

Demostració

Com que f és contínua a [a,b], pel Teorema de Weierstrass f assoleix els extrems absoluts. Si algun extrem absolut es troba en l'interval obert (a,b), aleshores és també extrem relatiu i per tant la derivada en aquell punt és 0. Si no és així, els extrems absoluts cauen a la frontera {a,b}. Però per hipòtesi f(a) = f(b), és a dir, f pren el mateix valor al màxim i al mínim absolut; això implica que f és constant a [a,b] i, per tant, la derivada és 0 a (a,b).

Teorema del valor mig de Lagrange

Enunciat: Suposem que f : [a,b] → R és contínua a [a,b] i derivable a (a,b). Aleshores existeix c en (a,b) tal que

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Demostració

Considerem la funció

h(x) = f(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))·(x-a) - f(a).

Un càlcul senzill mostra que h(a) = h(b) = 0. La funció h és contínua a [a,b] i derivable a (a,b), així que podem aplicar Rolle i obtenir c amb h'(c) = 0. Com que h'(x) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a), deduïm f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Caracterització de la convexitat

Enunciat: Sigui f : I → R derivable. Són equivalents:

1. (i) f és (estrictament) convexa a I.
2. (ii) f' és (estrictament) creixent a I.
3. (iii) Tota tangent a f queda (estrictament) per sota de la gràfica de f, llevat del punt de contacte.

Demostració

La implicació (i) => (ii) ja s'ha vist prèviament. Ara provem (ii) => (i). Suposem que f' és (estrictament) creixent; siguin a < b pertanyents a I. Definim g : [a,b] → R per

g(x) = f(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))·(x-a).

Llavors g és derivable a [a,b] i g' = f' - (f(b)-f(a))/(b-a). En particular g' és (estrictament) creixent i a més g(a) = g(b). Aplicant el lema corresponent s'obté g ≤ g(a) a tot (a,b) (resp. g < g(a)), i per tant

(f(x)-f(a))/(x-a) ≤ (f(b)-f(a))/(b-a) per a tot x en (a,b) (resp. amb desigualtat estricta), i per tant f és (estrictament) convexa.

La implicació (i) => (iii) ja s'ha provat abans. Finalment, (iii) => (ii): si tota tangent queda estrictament per sota de la gràfica (excepte en el punt de contacte), donats dos punts a < b tenim, per hipòtesi, les desigualtats

f(x) > f(a) + f'(a)(x-a) per a x ≠ a, i

f(x) > f(b) + f'(b)(x-b) per a x ≠ b,

i en posar x = b a la primera i x = a a la segona obtenim

f'(a) < (f(b)-f(a))/(b-a) < f'(b),

de manera que f' és (estrictament) creixent.

Regla de l'Hospital (0/0)

Enunciat: Siguin f i g funcions definides en un entorn puntejat de x0, tals que

1. lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x) = 0,
2. lim x->x0 f'(x)/g'(x) = L pertanyent a R ∪ {+/-∞}.

Aleshores també lim x->x0 f(x)/g(x) = L.

Demostració

De les hipòtesis se'n deriven algunes observacions pràctiques:

• Podem suposar que f i g són derivables en un entorn puntejat (x0-λ, x0+λ) \ {x0}, amb g' ≠ 0 en aquest entorn; la hipòtesi (2) exigeix que f'/g' estigui definida prop de x0.
• Podem suposar que f i g són contínues a (x0-λ, x0+λ) si definim f(x0) = g(x0) = 0, cosa que no altera les hipòtesis, atès que només importen els valors en un entorn puntejat.
• Podem suposar que g ≠ 0 a tot (x0-λ, x0+λ) \ {x0}. Si existís β ≠ x0 amb g(β) = 0, aplicaríem Rolle a g a l'interval entre x0 i β i trobaríem α tal que g'(α) = 0, contradient la definició de l'entorn on g' ≠ 0.

Amb aquestes observacions, per a x en (x0-λ, x0+λ) \ {x0} considerem l'interval . Les funcions f i g compleixen les hipòtesis del Teorema del Valor Mig de Cauchy en aquest interval, així que existeix ξ entre x i x0 tal que

f(x)/g(x) = (f(x)-f(x0))/(g(x)-g(x0)) = f'(ξ)/g'(ξ).

Si fem x->x0, pel lema del sandvitx també tindrem ξ->x0 i per tant f'(ξ)/g'(ξ)->L; d'aquí s'obté que f(x)/g(x)->L.