Teoremas Fundamentales de Topología, Sucesiones y Cálculo Multivariable

Conceptos Fundamentales de Topología

Relación entre Puntos de Acumulación y Adherencia

Todo punto de acumulación de $A$ es adherente en $A$

Se definen el punto de acumulación ($A'$) y el punto de adherencia (o clausura, $\bar{A}$). Por sus definiciones, vemos que todo punto de $A$ está adherido a $A$, es decir, $A \subset \bar{A}$. Sin embargo, un punto adherido no necesariamente es de acumulación.

Naturalmente, los puntos de acumulación están adheridos, es decir, $A' \subset \bar{A}$.

Un punto $p$ puede ser de acumulación de $A$ sin ser un punto de $A$. Por ejemplo, si $A = (1, 5)$, el número $1$ es de acumulación del conjunto, pero $1 \notin A$.

Propiedad de los Conjuntos Abiertos: Intersección

La intersección de dos conjuntos abiertos es también un conjunto abierto

Demostración:

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos abiertos y no vacíos. Tomemos un punto $x \in I$, donde $I = A \cap B$ (la intersección de $A$ y $B$).

Dado que $A$ es abierto y $x \in A$, existe una bola $C$ con centro $x$ tal que $C \subset A$.

Dado que $B$ es abierto y $x \in B$, existe una bola $D$ con centro $x$ tal que $D \subset B$.

Por lo tanto, la intersección de $C$ y $D$ (que es una bola $E$ con centro $x$ y radio $\min(r_C, r_D)$) estará también contenida en $I$:

• $C \subset A$
• $D \subset B$
• $E = C \cap D \subset A \cap B = I$

Como para cualquier punto $x \in I$ existe una bola centrada en $x$ contenida completamente en $I$, concluimos que $I$ es un conjunto abierto.

Teoría de Sucesiones y Convergencia

El Límite de una Sucesión Convergente es un Punto de Acumulación Único

El límite de una sucesión es siempre un punto de acumulación de la misma

Una sucesión $(x_n)$ tiene límite $L$ si para todo entorno de $L$ (bola $B(L, \epsilon)$) este contiene infinitos términos de dicha sucesión, dejando fuera de dicho entorno un número finito de ellos.

Esta definición garantiza que $L$ sea un punto de acumulación. Además, garantiza que $L$ sea el único punto de acumulación, ya que si un entorno de $L$ deja fuera solo un número finito de términos, cualquier otro punto $L' \neq L$ no podrá tener un entorno que contenga infinitos términos de la sucesión, pues este entorno solo podría contener los términos finitos que quedaron fuera del entorno de $L$.

Propiedades Fundamentales de Sucesiones

Toda sucesión de números reales convergente está acotada

Demostración:

Dada la sucesión $(x_n)$ cuyo límite es $p$. Por definición de límite, para $\epsilon = 1$, existe un índice $N_0$ tal que todos los términos $x_n$ con $n \ge N_0$ están dentro de la bola $B(p, 1)$.

Consideremos el conjunto finito de términos que quedan fuera de esta bola: $F = \{x_1, x_2, \dots, x_{N_0-1}\}$. Sea $r'$ la distancia máxima de estos puntos finitos al límite $p$, es decir, $r' = \max_{i < N_0} d(x_i, p)$.

Tomando $R = \max(1, r')$, la bola $B(p, R)$ contiene a todos los términos de la sucesión $(x_n)$. Por lo tanto, la sucesión está acotada.

El límite de una sucesión de números reales, si existe, es único

Demostración por Contradicción:

Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión tal que $\lim_{n\to\infty} x_n = l_1$. Esto significa que para todo $\epsilon > 0$, existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \ge N_1$, entonces $d(x_n, l_1) < \epsilon$.

Supongamos que existe otro límite $l_2$ tal que $l_2 \neq l_1$. Entonces, para $l_2$, existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \ge N_2$, entonces $d(x_n, l_2) < \epsilon$.

Tomemos $N = \max(N_1, N_2)$. Si $n \ge N$, ambos límites se cumplen. Aplicamos la desigualdad triangular a la distancia entre $l_1$ y $l_2$:

$$d(l_1, l_2) \le d(l_1, x_n) + d(x_n, l_2)$$

Si elegimos $\epsilon$ tal que $2\epsilon < d(l_1, l_2)$, esto lleva a una contradicción. Sin embargo, la demostración estándar utiliza un $\epsilon$ arbitrario:

$$d(l_1, l_2) < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$$

Como esta desigualdad debe ser cierta para cualquier $\epsilon > 0$, esto implica que $d(l_1, l_2)$ debe ser cero. Por lo tanto, $l_1 = l_2$. El límite es único.

Series de Números Reales y Convergencia

Condición Necesaria de Convergencia de Series

Probar que si una serie de números reales es convergente, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. ¿Es cierto el recíproco?

Para que una serie $\sum a_n$ sea convergente, es necesario que el límite de su término general sea cero: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Esta condición es necesaria pero no suficiente, ya que no todas aquellas series cuyo término general tiende a cero son convergentes.

El ejemplo clásico lo tenemos en la serie armónica generalizada $\sum 1/n^\alpha$. El límite del término general $a_n = 1/n^\alpha$ es siempre $0$ cuando $n \to \infty$ (para $\alpha > 0$). Sin embargo, si $\alpha \le 1$ (como en la serie armónica simple, $\alpha=1$), la serie es divergente.

Por lo tanto, el recíproco (si $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, entonces la serie converge) es falso.

Cálculo Multivariable: Extremos y Diferenciabilidad

Condición Necesaria de Extremo Local

Sea $f: C \to \mathbb{R}$ una función real con $C \subset \mathbb{R}^p$ abierto. Sea $a \in C$. Si $f$ es diferenciable en $a$ y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en $a$, entonces la diferencial de $f$ en $a$ es nula. Esto se expresa como:

$$\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_p}(a) \right) = 0$$

Condición Suficiente de Extremo Local (Criterio de la Segunda Derivada)

Para que exista un máximo local en $a$, es condición suficiente que la forma cuadrática asociada a la matriz Hessiana en $a$ sea definida negativa.

Para que exista un mínimo local en $a$, es condición suficiente que la forma cuadrática asociada a la matriz Hessiana en $a$ sea definida positiva.