Teoremas Fundamentales y Posicionamiento GPS: Tissot, Stokes, Clairaut y Efemérides

Teoremas Fundamentales en Geodesia

Teorema de Tissot

El Teorema de Tissot establece que la máxima y mínima deformación en una proyección cartográfica coinciden con los semiejes de la elipse de Tissot (indicatriz de Tissot). Conociendo los valores de 'a' y 'b' (semiejes mayor y menor de la elipse), es posible calcular la deformación en cualquier punto de la proyección. Este teorema permite cuantificar y analizar todas las deformaciones presentes en una proyección.

Si la elipse de Tissot se orienta de manera favorable, el cálculo de las deformaciones se simplifica considerablemente.

Teorema de Stokes

El Teorema de Stokes afirma que si se conoce la superficie exterior de nivel (geoide), el potencial de la fuerza de gravedad, la masa del cuerpo y su velocidad angular (ω), se puede calcular el potencial de masas. Además, el potencial perturbador se considera un valor muy pequeño, lo cual es crucial en las aplicaciones geodésicas.

Teorema de Clairaut

El Teorema de Clairaut permite calcular el valor de la gravedad en la superficie de referencia (elipsoide) a partir de los parámetros del elipsoide. Con este teorema, se puede determinar la gravedad teórica en cualquier punto del elipsoide. La fórmula involucra la constante gravitacional (G), la masa de la Tierra (M) y la velocidad de rotación (ω). Una implicación importante de este teorema es la relación entre el radio del paralelo (r) y el seno del azimut de la curva (Â) en cada uno de sus puntos, que se mantiene constante:

r * sen(Â) = constante

Posicionamiento GPS y Efemérides

Efemérides

Las efemérides son datos que proporcionan la posición precisa de los satélites GPS en función del tiempo. Los parámetros orbitales clave son:

• AR del nodo ascendente (Ω): Distancia angular entre el punto vernal y el punto donde el satélite cruza el ecuador en dirección norte.
• Inclinación de la órbita (i): Ángulo entre el plano orbital del satélite y el plano ecuatorial terrestre.
• Argumento del perigeo (ω): Ángulo entre el nodo ascendente y el perigeo (punto de la órbita más cercano a la Tierra).
• Semieje mayor de la órbita (a): La mitad de la distancia del eje mayor de la elipse.
• Excentricidad de la órbita (e): Define la forma de la elipse, que tan achatada es.
• Anomalía Verdadera (ν): Ángulo polar del satélite, medido desde el perigeo.

Los tres primeros parámetros (AR del nodo ascendente, inclinación de la órbita y argumento del perigeo) describen la orientación de la órbita en el espacio. Los tres últimos (semieje mayor, excentricidad y anomalía Verdadera) definen el tamaño y la forma de la órbita, y la posición del satélite en ella.

Variables Principales para el Posicionamiento GPS

El posicionamiento GPS se basa en la medición de las siguientes variables:

• Diferencias de tiempo: Diferencia entre el tiempo de emisión de la señal por el satélite y el tiempo de recepción. La precisión es relativamente baja.
• Diferencias de fase: Medición de la fase de la señal portadora. Ofrece una alta precisión.
• Diferencia de frecuencia (Doppler): Medición del cambio en la frecuencia de la señal debido al movimiento relativo entre el satélite y el receptor. También proporciona una alta precisión.

Modalidades de Posicionamiento GPS

• Posicionamiento Absoluto: Se determinan las coordenadas de un punto directamente a partir de las señales de los satélites visibles. Requiere observaciones de larga duración.
• Posicionamiento Relativo: Se determinan las coordenadas de un punto en relación con una estación de referencia con coordenadas conocidas. Se utilizan al menos dos receptores, uno en la estación base y otro(s) en los puntos a determinar. Es recomendable tener dos o tres estaciones de referencia fijas para mayor precisión y redundancia.