Teoremas fundamentales de cálculo integral

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐹 es la función integral, definida en [𝑎, 𝑏] como 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 , entonces, 𝐹 es derivable y, además, 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

𝑓 continua en [𝑎, 𝑏]                { 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑔(𝑥) 𝑎 derivable en [𝑎, 𝑏]

g derivable en [𝑎,b]         ⟹                          y

 g(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]         { 𝐻 ′ (𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔 ′ (𝑥) , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Regla de Barrow

Si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐹 es una primitiva de 𝑓, entonces:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 𝒃 𝒂

Dicho de otra forma: La integral definida de una función continua en un intervalo cerrado es igual a la diferencia entre los valores que toma una cualquiera de sus primitivas en los extremos de dicho intervalo.

Teorema de la Media o Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Dada 𝑓, una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], existe al menos un punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎) ∙ 𝑓(𝑐) 𝑏 𝑎 .