Teoremas Fundamentales de Análisis Matemático: Convergencia y Funciones Exponenciales
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Teorema 1.18 (Principio de la buena ordenación de los naturales)
Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.
Demostración
Sea A un subconjunto no vacío de N. Si 1 ∈ A es claro que 1 = min A. Suponemos entonces que 1 ∉ A y consideremos el siguiente conjunto B = {n ∈ N : n < 1}. Si B fuese inductivo, coincidiría con N, en particular, contendría al propio conjunto A. Entonces, cada elemento de A es estrictamente menor que sí mismo. Puesto que esto no puede ocurrir, el conjunto B no es inductivo. Es claro que 1 ∈ B. Entonces existe n ∈ B tal que n + 1 ∈ B. De ello se deduce, por una parte, que n < n + 1, y por otra, existe x ∈ A tal que x = n + 1. La primera condición implica que n + 1 > a, para todo a ∈ A y, en particular, n + 1 > x. Luego x = n + 1 y queda probado que x es un elemento de A y un minorante de A, x = min A.
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Teorema 1.19 (Convergencia de sucesiones)
i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.
Demostración
Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y acotada y sea x = sup {xn : n ∈ N}. Dado ε ∈ R+, existe m ∈ N tal que xm > x - ε. Cogemos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x > xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn < x - xm. Se prueba así que {xn} converge a x. De la misma forma se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y acotada, entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N}.
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Teorema de Bolzano-Weierstrass
Toda sucesión de números complejos acotada admite una subsucesión convergente.
Demostración
Sea {zn} una sucesión acotada de números complejos y consideremos las sucesiones de números reales {an} y {bn} dadas por an = Re(zn), bn = Im(zn), para todo n ∈ N. Puesto que {an} está acotada, existe una subsucesión convergente {ao1(n)}. De la misma manera, la sucesión {bn} está acotada y lo mismo ocurre con {bo1(n)}. Así, la última sucesión admite una parcial convergente {bo1(ó2(n))}. La sucesión {ao1(ó2(n))} también es convergente por ser una parcial de {ao1(n)}. Puesto que {zo1(ó2(n))} = {ao1(ó2(n)) + bo1(ó2(n))i}, podemos decir que {zo1(ó2(n))} es una subsucesión convergente de {zn}.
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Teorema 2.23 (Completitud de C)
Toda sucesión de Cauchy de números complejos es convergente.
Demostración
Sea {zn} una sucesión de Cauchy de números complejos. Sabemos que {zn} está acotada y que admite una sucesión parcial {zo(n)} convergente. Sea z = lim zo(n) y consideremos un número real positivo ε. Aplicando a ε/2 la condición de Cauchy, que cumple la sucesión {zn}, y la condición de convergencia correspondiente a {zo(n)}, conseguimos un natural m tal que p, q ∈ N, p, q ≥ m --> |zp - zq|
y n ∈ N, n ≥ m --> |zo(n) - z|. Sea pues n un natural con n ≥ m. Evidentemente σ(n) ≥ m y es claro que |zn - z| = zn - zo(n) + zo(n) - z
Esto prueba que {zn} converge a z.
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Función Exponencial Compleja
La función exp : C → C definida por exp(z) = 1 + (zn)/n!, para todo z ∈ C recibe el nombre de función exponencial compleja.
De un modo más informal, exp(z) = 1 + z + (z2)/2 + (z3)/3! + ..., para todo z ∈ C. Ya habíamos advertido que si en alguna fórmula está implícita la expresión 00, hemos de asignarle el valor 1. Teniendo en cuenta esta aclaración, podemos escribir exp(z) = (zn)/n! z ∈ C. Recogemos en el siguiente enunciado algunas propiedades de la función exponencial:
Teorema 2.50
- exp(0) = 1
- exp(z + w) = exp(z) exp(w), z, w ∈ C
- exp(z) ≠ 0, z ∈ C
- exp(-z) = 1/(exp(z)), z ∈ C
- exp(x) ∈ R+, x ∈ R. Además, exp(x) > 1, x ∈ R+.
Demostración
La afirmación i) es evidente y, con objeto de probar ii), consideremos z, w ∈ C y sea cn el producto de Cauchy de las series (zn)/n! y (wn)/n!. Puesto que ambas convergen absolutamente, la Proposición 2.38 garantiza que la serie cn es convergente y cn = (zn)/n! (wn)/n! = exp(z) exp(w). Obviamente c0 = (z0)/0! (w0)/0! = 1 y, dado n ∈ N, cn =
donde se ha hecho uso de la fórmula del binomio de Newton. Por tanto, exp(z) exp(w) = lo que prueba ii). De este modo, dado z ∈ C, 1 = exp(0) = exp(z - z) = exp(z) exp(-z), de donde se sigue que exp(z) ≠ 0 y que exp(-z) = 1/exp(z), que son las afirmaciones iii) y iv). Por otra parte, dado x ∈ R+, ∑ (xn)/n! es una serie de números reales positivos y por tanto su suma pertenece a R+, luego exp(x) = 1 + (xn)/n! es un número real mayor que 1. Finalmente, si x ∈ R-, exp(x) = 1/exp(-x) es un número real positivo por serlo exp(-x).
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