Teoremas Fundamentales de Álgebra Lineal: Invertibilidad, Series y Perturbaciones Matriciales

Inversión de matrices
I+-B
Sea ||.|| una norma matricial y B € M con ||B||<1 => I+-B es invertible y ||I||/(||I||+||B||) ? ||(I+-B)^-1|| ? ||I||/(1-||B||)
Demo (para I+B, el otro caso es análogo).
Existe u? 0/(I+B)u=0. Entonces (I+B)u=0=>-u=Bu=-1 € sp(B) => 1?? (B)? ||B|| -><-
De la igual (I+B)(I+B)^-1=I
a) (I+B)^-1=I-(I+B)^-1B=>||(I+B)^-1||? ||I||+||(I+B)^-1|| ||B|| => ||(I+-B)^-1||? ||I||/(1-||B||)
b)||I||? ||(I+B)^-1|| ||(I+B)||? ||(I+B)^-1||(||I||+||B||) => ||I||/(||I||+||B||) ? ||(I+-B)^-1|| #
Ley de Neumann
Sea B € M(K) y supongamos que ? (b)<1. Entonces I-B es regular y (I-B)^-1=? Bⁿ (n=0,?) convergiendo la serie. Recíprocamente, si la serie converge, entonces ? (b)<1
Demo
Si ? (b)<1 por el th de inversión de I+-B y por lim (k=>+? ) B^k=0 se tiene que lim ( n =>+?) Bⁿ=0
Es fácil comprobar que I-B^k+1=(I-B)? Bⁿ(n=0,? ) tomando lim con k => ? Resulta:
I=(I-B)? B^{n (n=0,?)} =>(I-B)^-1=? B^{n(n=0,? )}
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Schur

Dada A € M, existe U y T tales que U*AU=T. Tod matriz es semejante a una matriz triangular con matriz de paso unitaria
Demo
Por inducción sobre la dim de A.
n=1 => Trival ==> Cierto para n-1
Sea ? € sp(A) y v su autovector normalizado, mediante Gram-Schmidt obtenemos una base (v|v^2|...|v^n) y su matriz V de igual columnas. Entonces AV= (? V|Av^2|..Av^n )
Av^j=?_jv₊b_2jv²+...+b_njvⁿ, j= 2..N. Entonces:
AV= (v|v^2|...|v^n) (? |?₂|..|?_n;|0|..|..|..;..|..|B|..;..|..|..|..) de ? Los de A menos el ya elegido
Por Inducción: existen W_n-1 y T_n-1/BW_n-1=W_n-1T_n-1.
Sea W=(1|0|...|0;0|..|..|..;..|..|W_n-1|..;..|..|..|.. ) siendo W unitaria: W*W=I Entonces: AVW=VWT (V no la toco) => U=VW y falta comprobar AU=UT.

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Courant-Fisher

R_A:Cⁿ \\ {0}=> C, R_A(v)=(v*Av)/(v*v) v _? 0
a : El R_A de M(h) solo toma valores R
b : R_A(? V)=R_A(v) ? € C \\ {0},v € Cⁿ \\ {0}
Demo
a ) (v*Av)^a = v^t(Av)^a=(A*v)^tv^a=v*A*v y es siempre cierto: (R_A(v))^a=R_A*(v)
Si A es h => (R_A(v))^a=R_A(v)=>R_A(v) € R
b ) R_A(?V)= ( (?V)*A(?V ))/((?V )*(?V )) = (|? |²v*Av)/(|?|²v*v)=R_A(v)
Th=Sea A € M(C) hermitica y ?₁? ..??₂ y {p¹,..,pⁿ} una base ortonormal de autovectores.
Para k= 1...N V'_k={subespacio de Cⁿ de dim k} y V_k=

¹,..P^k> y V₀=V'₀={0}. Entonces:
(1) ?_k=R_A(p^k), k=1...N (2) ?_n=max R_A(v) (3) ?₁= min R_A(v) (4) ?_k=min_W€V'km ax_v€W R_A(v) (5) ?_k=m ax_W€V'km in_v€W R_A(v) (6) ?_k={R_A(v) , v € V\\0} =[?_{1 ,}?_n]
Demo
1)R_A(p^k)= ( (p^k)*Ap^k)/ ( (p^k)*p^k)= (p^k)*?_kp^k)/ ((p^k)*p^k) =?_k
2)v € V => v=?₁p¹+...+?_kp^k =>R_A(v)=v*Av/v*v= (? ?_i |? |²)/ (? |?|²) ??_{k (}i=1,k)
Por tanto R_A(v)??_k para todo v € V_K\\0 y junto con(a) lo demuestra
3) v=?_kp^k+...+?_npⁿ =>R_A(v)=(v*Av)/(v*v)=(? ?_i |? |²)/ (? |?|²)? ?_k (i=k,n)
6)Es evidente que R_A(v ) esta contenido en [?_{1 ,}?_n]. La otra inclusión es: sea ?B₁=[z ]€V:|z|1} y ? =1/||v|| por la prop (b) se tiene R_A(V\\{0})=R_A(?B₁) . Se considera la aplicación v € ?B₁ => R_A(v) € R que es cont. Como ?B₁ es conexo, también lo es R_A( ?B₁) . Por tanto R_A(V\\0) es un intervalo (lo conexo en R) que contiene a ?₁ y _,?_{n .}
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||.||₁ => ||.||_C = max_j ? |a_ij|O||.|| _? => ||.||_F = max_i ? |a_ij|O||.||₂ => ||.||_S = SQRT(? (A*A))

Bauer-Fike

Sea A € M, diagonalizable, P una matriz regular / P^-1AP=diag(?_i(A) ) y ||.|| una n. M. Subordinada que verifique ||diag (d_i)||= max |d_i|. Entonces se verifica para ?A
sp(A+? A) esta contenido en la unión (i=1,n) de D_i siendo
D_i={z € C:|z - ?_i(A) |?Cond(P)||?A ||}
Demo
Sea ? € sp(A+?A) . Entonces A+?A -?I es un matriz singular. Si ? =?_j(A) para algún j, el resultado es trivial. Supongamos que ?? ?_i(A) . Entonces D-?I es invertible, y
P^-1(A+?A -?I )P=D-?I +P^-1(?A )P=(D-?I )[I+(D-?I)^-1P^-1(?A )P]
Como el primer miembro es singular y el primer factor del segundo es regular, se deduce que I+ (D-?I )^-1P^-1(?A )P es singular y del Th de inversión de M se tiene 1?||(D-?I )^-1P^-1(?A )P || y por tanto
1? ||(D-?I )^-1|| ||P^-1|| ||?A || ||P|| = cond(P) ||(D-?I )^-1|| ||?A||
Por la hipótesis ||(D-?I )^-1| | =1/min|?_i(A)-?| De modo que
1? ( 1/min|?_i(A)-? | )(cond(P) ||?A|| ) => existe j / |? -?_j(A)|? Cond(P) ||?A| #|