Teoremas esenciales sobre triángulos y sus propiedades

Teoremas fundamentales sobre triángulos

Teorema 1

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Teorema 2

Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

Teorema 3

Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Teorema 4

Si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. (Considerar la bisectriz).

Teorema 5

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

Teorema 6

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

Teorema 7

Un ángulo exterior de un triángulo mide lo mismo que la suma de las medidas de los ángulos internos lejanos.

Teorema 4.1 (AA~AA)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema 4.2

Una recta paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros lados en puntos distintos divide a estos dos lados en segmentos proporcionales.

Teorema 4.3

Una recta que corta a dos lados de un triángulo en puntos distintos y divide esos dos lados en segmentos proporcionales es paralela al tercer lado.

Teorema 4.4 (LAL~LAL)

Si dos pares de lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales y sus ángulos incluidos son congruentes, entonces los dos triángulos son semejantes.

Teorema 4.5 (LLL~LLL)

Si los tres lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes.

Teorema 24 (CA=CA)

Si un triángulo rectángulo tiene congruentes un cateto y un ángulo agudo con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 25 (HA=HA)

Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo son respectivamente congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 26 (CC=CC)

Si los dos catetos de un triángulo son respectivamente congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 27 (HC=HC)

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo son respectivamente congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema 28

La mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la medida de la hipotenusa.

Teorema 20

En cualquier triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

Teorema 29

En cualquier triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos tales que:

1. La altura es la media geométrica entre estos dos segmentos.
2. Cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa adyacente a dicho cateto.

Teorema de Pitágoras

Si un triángulo es rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Teorema 31 (Recíproco de Pitágoras)

Si en un triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, entonces el triángulo es rectángulo.

Teorema 32

En un triángulo rectángulo, si un ángulo mide 30°, el cateto opuesto a este ángulo mide la mitad de la hipotenusa.

Corolario

En un triángulo rectángulo, si un ángulo mide 60°, el cateto opuesto a este ángulo mide (√3)/2 veces la hipotenusa y mide √3 veces el otro cateto.