Teoremas Clave de Transformaciones Lineales: Propiedades y Demostraciones Esenciales

Teoremas Fundamentales de Transformaciones Lineales

Teorema de Igualdad de Transformaciones Lineales

Sean U y V dos K-espacios vectoriales (K-E.V.). Sean T₁: U → V y T₂: U → V dos transformaciones lineales (T.L.). Sea B = {b₁, b₂, ..., bₙ} una base de U. Si T₁(bᵢ) = T₂(bᵢ) para todo i = 1, ..., n, entonces T₁ = T₂.

Demostración:

Sea u ∈ U. Dado que B es una base de U, podemos expresar u como una combinación lineal de los vectores de B:

u = α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ

Aplicando T₁ a u:

T₁(u) = T₁(α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ)

Por la linealidad de T₁:

T₁(u) = α₁T₁(b₁) + α₂T₁(b₂) + ... + αₙT₁(bₙ)

Por hipótesis, T₁(bᵢ) = T₂(bᵢ) para todo i:

T₁(u) = α₁T₂(b₁) + α₂T₂(b₂) + ... + αₙT₂(bₙ)

Por la linealidad de T₂:

T₁(u) = T₂(α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ)

Sustituyendo la expresión de u:

T₁(u) = T₂(u)

Dado que esto se cumple para cualquier u ∈ U, se concluye que T₁ = T₂. Queda demostrado.

Teorema de la Dimensión (Teorema del Rango y la Nulidad)

Sean U y V dos K-E.V. y T: U → V una T.L. Entonces se verifica la siguiente relación:

Nulidad(T) + Rango(T) = dim(U)

Donde Nulidad(T) = dim(Nuc(T)) y Rango(T) = dim(Im(T)).

Lema: Generadores de la Imagen de una Transformación Lineal

Sean U y V dos K-E.V., T: U → V una T.L. y sea B = {b₁, b₂, ..., bₙ} una base de U. Entonces T(B) = {T(b₁), T(b₂), ..., T(bₙ)} es un conjunto generador de la Imagen de T (Im(T)).

Demostración:

Debemos demostrar que cualquier vector de Im(T) es una combinación lineal (C.L.) de los vectores de T(B).

Sea v ∈ Im(T). Por definición de imagen, existe un vector u ∈ U tal que T(u) = v.

Como u ∈ U y B es una base de U, podemos escribir u como una C.L. de los vectores de B:

u = α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ

Aplicando T a esta expresión:

T(u) = T(α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ)

Por la linealidad de T:

T(u) = α₁T(b₁) + α₂T(b₂) + ... + αₙT(bₙ)

Dado que T(u) = v, tenemos:

v = α₁T(b₁) + α₂T(b₂) + ... + αₙT(bₙ)

Luego, cualquier vector v ∈ Im(T) es una C.L. de los vectores de T(B). Por lo tanto, T(B) es un conjunto generador de Im(T). Queda demostrado.

Teorema de Equivalencia de Propiedades para Transformaciones Lineales

Sean U y V dos K-E.V. de la misma dimensión n, y sea T: U → V una T.L. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. T es inyectiva.
2. T es sobreyectiva.
3. T es biyectiva.

Demostración:

a) → b) (Si T es inyectiva, entonces T es sobreyectiva)

Sea T inyectiva. Debemos demostrar que T es sobreyectiva.

En efecto: Como T es inyectiva, entonces su núcleo es el vector nulo: Nuc(T) = {0}. Por lo tanto, la nulidad de T es Nul(T) = dim(Nuc(T)) = 0.

Por el Teorema de la Dimensión:

Nul(T) + Rg(T) = dim(U)

Sustituyendo los valores conocidos:

0 + Rg(T) = n

Luego, Rg(T) = n. Dado que dim(V) = n (por hipótesis), tenemos que Rg(T) = dim(Im(T)) = dim(V).

Esto implica que Im(T) = V, y por lo tanto, T es sobreyectiva. Queda demostrado.

b) → c) (Si T es sobreyectiva, entonces T es biyectiva)

Sea T sobreyectiva. Debemos demostrar que T es biyectiva. Es claro que solo necesitamos demostrar que T es inyectiva.

En efecto: Como T es sobreyectiva, entonces Im(T) = V. Por lo tanto, el rango de T es Rg(T) = dim(Im(T)) = dim(V) = n.

Por el Teorema de la Dimensión:

Nul(T) + Rg(T) = dim(U)

Sustituyendo los valores conocidos:

Nul(T) + n = n

Luego, Nul(T) = n - n = 0, es decir, dim(Nuc(T)) = 0.

Por lo tanto, Nuc(T) = {0} y T es inyectiva. Al ser T inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva. Queda demostrado.

c) → a) (Si T es biyectiva, entonces T es inyectiva)

Esta implicación es inmediata por la definición de biyectividad. Queda demostrado.

Relación entre Rango de una Transformación y Rango de su Matriz Asociada

Lema:

Sean U y V dos K-E.V. y sea T: U → V una T.L. Si B_U es una base de U y B_V es una base de V, y A = [T]_BU,BV es la matriz asociada a T respecto a estas bases, se verifica que:

Rg(T) = Rg(A)

Propiedades del Núcleo y la Imagen de una Transformación Lineal

Lema:

Sean U, V dos K-E.V. con dim(U) = n y dim(V) = m. Sean B_U y B_V bases de U y V respectivamente. Si T: U → V es una T.L., sabemos que A = [T]_BU,BV ∈ M_m×n(K). Se verifica entonces:

1. Im(T) = C_A (El espacio columna de la matriz A).
2. Nuc(T) es el espacio solución del siguiente sistema lineal homogéneo: A[x]_BU = [0]_BV, donde x ∈ U.

Demostración (Ejercicio): El Núcleo es un Subespacio Vectorial

Sea T: U → V una T.L. Demostrar que Nuc(T) es un subespacio vectorial (S.V.) de U.

1. Nuc(T) ⊆ U: Por definición de Núcleo, Nuc(T) = {u ∈ U : T(u) = 0}. Esto implica directamente que todos los elementos del núcleo pertenecen a U.
2. El vector nulo pertenece al Núcleo: Debemos demostrar que 0 ∈ Nuc(T). Por una propiedad fundamental de las transformaciones lineales, T(0) = 0. Por lo tanto, 0 ∈ Nuc(T).
3. Cierre bajo la suma de vectores: Sean u, v ∈ Nuc(T). Esto significa que u ∈ U, T(u) = 0 y v ∈ U, T(v) = 0. Aplicando T a la suma (u + v): T(u + v) = T(u) + T(v) (por linealidad de T) T(u + v) = 0 + 0 = 0 Por lo tanto, u + v ∈ Nuc(T).
4. Cierre bajo la multiplicación por un escalar: Sea λ ∈ K (el campo de los espacios vectoriales) y u ∈ Nuc(T). Esto significa que u ∈ U y T(u) = 0. Aplicando T a (λu): T(λu) = λT(u) (por linealidad de T) T(λu) = λ ⋅ 0 = 0 Por lo tanto, λu ∈ Nuc(T).

De los puntos 1), 2), 3) y 4) se concluye que Nuc(T) es un subespacio vectorial de U. Queda demostrado.