Teoremas Cinéticos: Centro de Gravedad, Momento y Energía

Teoremas Cinéticos: Centro de Gravedad y Momento

Teorema del Centro de Gravedad

Establece la igualdad entre las resultantes de los sistemas de fuerzas exteriores y dinámico.

Teorema del Momento

Establece la igualdad de momentos en un punto cualquiera (A) de los sistemas de fuerzas exteriores y dinámico.

Aplicado al sólido rígido con movimiento plano, a partir de su campo de aceleraciones, y sustituyendo en M_A, se obtiene:

Dado que ciertos vectores son perpendiculares en el movimiento plano, y siendo d la distancia del punto i (P_i) al eje perpendicular al plano del movimiento que pasa por A, entonces I_A es el momento de inercia del sólido rígido respecto del eje que pasa por A y es perpendicular al plano del movimiento.

La expresión del teorema del momento, para el sólido rígido con movimiento plano, queda:

Esta ecuación es escalar, con una sola componente perpendicular al plano del movimiento. El segundo miembro se simplifica tomando un centro de momentos adecuado:

• Si A es un punto fijo, a_A = 0, y la ecuación queda: I_A * α = M_A^ext
• Si A_G es paralelo a a_A, su producto vectorial es cero y la ecuación queda: I_A * α = M_A^ext
• Si A es el centro de gravedad (G), al ser r_GG = 0, la ecuación queda: I_G * α = M_G^ext

Energía Cinética y Teorema de Koenig

La energía cinética de un sistema de puntos materiales es la suma de la de todos sus puntos. Para un sólido rígido (sistema continuo):

Siendo P un punto genérico. Se consideran dos casos del teorema de Koenig:

Rotación alrededor de un eje que no pasa por G. Energía Cinética de Rotación

La energía cinética del sólido será:

Expresando la velocidad del punto genérico P en función del torsor cinemático en I, se obtiene la expresión de la energía cinética de rotación:

T = 1/2 * I_z * ω²

Teoremas de Energía

Por extensión del teorema de la energía cinética para el punto material:

T_B - T_A = W_AB

Considerando todas las posibles parejas de puntos del sólido rígido, el trabajo elemental del sistema de fuerzas interiores es nulo. Por lo tanto, W_AB incluye solamente el trabajo de las fuerzas exteriores:

T_B - T_A = W_AB^ext

En forma diferencial, el teorema de conservación de la energía mecánica es dT = dW. Aplicando el Teorema de Koenig para el cálculo de la energía cinética y diferenciando:

Un caso importante se presenta cuando las fuerzas que actúan sobre un sólido son conservativas:

El trabajo de las fuerzas es:

W = - (V_B - V_A)

Igualando al incremento de T, se obtiene:

T_B - T_A = - (V_B - V_A)

O bien, T_B + V_B = T_A + V_A = constante

Lo que representa la ley de conservación de la energía mecánica.