Teorema de Weierstrass: Funciones Continuas y Derivabilidad
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Teoría
Weierstrass
La matemática se apoya en la geometría y el álgebra. El cálculo infinitesimal, desarrollado en gran medida por Weierstrass, revolucionó la forma en que entendemos las funciones y sus propiedades.
En 1872, su discípulo Paul du Bois-Reymond publicó un teorema sobre funciones continuas que no tenían derivada en ciertos puntos. Este teorema desafió la creencia común de que una función continua siempre tenía derivada en todos sus puntos.
La continuidad de una función se entendía intuitivamente como la capacidad de trazar su gráfica sin despegar el lápiz del papel. Sin embargo, Weierstrass demostró la continuidad en un lenguaje analítico, sin necesidad de imágenes geométricas.
Este enfoque analítico proporcionó una advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar únicamente en las conclusiones extraídas del dibujo, ya que la intuición geométrica podía ser engañosa en el análisis de funciones.
Parábolas
Continua y Discontinua
Intervalos:
- Abierto: (-2, 2) Ejemplo: (-1, 0, 1)
- Cerrado: [-2, 2] Ejemplo: [-2, -1, 0, 1, 2]
- Semiabierto: (-2, 2] Ejemplo: (-1, 0, 1, 2]
- Semicerrado: [-2, 2) Ejemplo: [-2, -1, 0, 1)