Teorema del Resto: explicación paso a paso y ejemplos

Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas

Escrito el 21 de Junio de 2024 en español con un tamaño de 7,82 KB

Teorema del Resto

Ejemplo: Consideremos los polinomios P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 y F(x) = x - 3 . Tenemos que:

$\displaystyle P(3) = 3^4 - 3\cdot 3^2 + 2 = 56$

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir P(x) entre F(x) debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio P(x) en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& & & & &\end{array}$

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de P(x) ) debajo de la línea horizontal:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}$

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x) :

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}$

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente ( 0 + 3 = 3 ) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & 3 & & &\end{array}$

Repetimos el procedimiento anterior. Multiplicamos el número que obtuvimos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado será 9); lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x) y luego sumamos los números:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & & \\\hline& 1 & 3 & 6 & &\end{array}$

Repetimos el procedimiento, ahora con el 6:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & \\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 &\end{array}$

Finalmente, repetimos el procedimiento una vez más, pero ahora con el 18:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline \; 56\end{array}$

De este último arreglo podemos ver que R(x) = 56 , que era lo que esperábamos.

Notas Adicionales

Nota: Como podemos ver en el ejemplo anterior, el teorema del resto sólo nos dice el residuo que resulta al dividir por un polinomio. Si queremos encontrar el cociente Q(x) debemos realizar la división completa.

Nota: El teorema asume que estamos dividiendo por un polinomio de la forma F(x) = x - a . Si tenemos algún polinomio de la forma F(x) = x + a , entonces notemos que

$\displaystyle F(x) = x + a = x - (-a)$

Por tanto, para encontrar el residuo, simplemente evaluamos P(-a) . En otras palabras, debemos evaluar en el término independiente de F(x) pero con signo cambiado.

Nota: Este teorema es muy importante, pues nos permite saber si un polinomio es factor de P(x) . Sabremos que x - a es factor de P(x) si P(a) = 0 . Esto se conoce como teorema del factor.

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