Teorema de Gauss y las identidades de Green

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Teorema de Gauss

Sean H y U dos subconjuntos abiertos en R^3, donde U subset H es simplemente conexo y el borde de U, S = partial U es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea F : H to R^3, un campo vectorial de clase C^1, es decir, F cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

iint_S F cdot vec n dS = iiint_U nabla cdot F dV

Las tres identidades de Green

PRIMERA: Esta identidad se deriva del teorema de la divergencia aplicado a un campo vectorial F = psi nabla varphi.

Si varphi es una función continuamente diferenciable de clase C2 y psi es otra función continuamente diferenciable, pero de clase C1 en una región U, entonces:

int_U psi Delta varphi dV = oint_partial U psi (nabla varphi cdot n) dS - int_U (nabla varphi cdot nabla psi) dV

SEGUNDA: Si varphi y psi son funciones continuamente diferenciables de clase C2 las dos en U, entonces:

int_U (psi Delta varphi - varphi Delta psi) dV = oint_partial U (psi frac{partial varphi}{partial n} - varphi frac{partial psi}{partial n}) dS

TERCERA:

La tercera identidad de Green se obtiene a partir de la segunda particularizando la función phi (y) a:

varphi (y) = frac{1}{|x - y|}

En este caso, el laplaciano de phi (y) es:

Delta varphi (y) = -4pi delta (x - y)

La tercera identidad de Green dice entonces que, si psi es una función continuamente diferenciable de clase C2 en U,

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